已知函数 $f(x)=\ln (1+a x)-x-\frac{1}{a}, g(x)=x-\mathrm{e}^x$.
(1) 若不等式 $f(x) \leqslant \frac{1}{a}-2$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围;
(2) 若 $a=1$ 时, 存在 4 个不同实数 $x_1, x_2, x_3, x_4$, 满足 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=g\left(x_3\right)=g\left(x_4\right)$, 证明: $\left|x_2-x_1\right|=\left|x_4-x_3\right|$.