若 $3 \sin \alpha-\sin \beta=\sqrt{10}, \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$, 则 $\sin \alpha=$ , $\cos 2 \beta=$
记锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $\frac{\sin (A-B)}{\cos B}=\frac{\sin (A-C)}{\cos C}$.
(1) 求证: $B=C$;
（2）若 $a \sin C=2$, 求 $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$ 的最大值.
已知在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 在①$a \sin C-c \cos \left(A-\frac{\pi}{6}\right)=0$; ② $2 c \cos A=$ $a \cos B+b \cos A$; (3) $b \sin B+c \sin C-a \sin A-b \sin C=0$ 中任选一个作为条件解答下面两个问 题.
(1) 求角 $A$;
(2) 已知 $b=6, S_{\triangle A B C}=3 \sqrt{3}$, 求 $a$ 的值.
在 $\triangle A B C$ 中, $E$ 为边 $B C$ 中点, 若 $|B C|=8, \triangle A C E$ 的外接圆半径为 3 , 则 $A B^2+A C^2$ 的最大值为
已知 $a>0, f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)-a \sin x$ 的最大值为 $\sqrt{3}$, 则 $a=$
$\triangle A B C$ 是针角三角形, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, a=2, b=4$, 则最大边 $c$ 的取值范围为
已知函数 $ f(x)=\left|\sin \frac{\omega x}{2}\right|+\left|\cos \frac{\omega x}{2}\right|(\omega>0) $ 在区间 $ \left(\frac{\pi}{3}, \frac{3 \pi}{4}\right) $ 上单调递增, 则 $ \omega $ 的取值范围
$x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 求函数 $y=\sin ^2 x \cos x$ 的最大值为
在三角形 $A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 若 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sqrt{3} \cos B}{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 则该三角形周长的最 大值为
已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\angle B A C=60^{\circ}, A B=2 ， B C=\sqrt{6}, \mathrm{AD}$ 平分 $\angle B A D$ 交 $\mathrm{BC}$ 于点 $\mathrm{D}$ ，则 $\mathrm{AD}=$
已知 $\tan \alpha=3$, 则 $\tan 2 \alpha=$
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A 、 B 、 C$ 所对的三边长分别为 $a 、 b 、 c$, 若 $a=4, b=5, c=6$, 则 $\sin A=$
已知 $\alpha, \beta \in R$, 且 $\cos \alpha+\cos \beta=\frac{1}{3}, \tan (\alpha+\beta)=\frac{24}{7}$, 则 $\sin \alpha+\sin \beta=$
设 $\tan \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{4}, \tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$
已知 $\tan \alpha=2$, 则 $\sin 4 \alpha=$
已知 $M(1,2)$ 是角 $\alpha$ 终边上的一点, 则 $\sin 2 \alpha=$
已知 $\alpha$ 为锐角, $\sin \alpha=\frac{4}{5}$, 则 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, \triangle A B C$ 的面积为 $S$, 已知 $\frac{4 S}{\tan B}=$ $a^2 \cos B+a b \cos A$.
(1) 求 $B$;
(2) 若 $b=3, \triangle A B C$ 的周长为 $l$, 求 $\frac{S}{l}$ 的最大值.
我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的 “三斜求积” 公式. 设 $\triangle A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 面积为 $S$, “三斜求积” 公式表示为 $S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[a^2 c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)^2\right]}$. 在 $\triangle A B C$ 中, 若 $a^2 \sin C=6 \sin A,(a+c)^2=16+b^2$, 则用 “三斜求积” 公式求得 $\triangle A B C$ 的面积为
已知三角形的内角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$, 若 $a=\sqrt{2}, b^2-c^2=$ 6 , 则角 $A$ 最大时, 三角形 $A B C$ 的面积等于
已知 $a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边, 若 $b=4+2 \sqrt{2}-c$, $\cos B=\frac{3}{4}, \tan C=-\sqrt{7}$, 则 $a=$
在 $\triangle A B C$ 中, $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$, 又 $a=2 . c=\sqrt{6} . C=$ $\frac{\pi}{3}$, 则 $b=$
在 Rt $\triangle A B C$ 中, 斜边为 $A B$, 点 $D$ 在边 $B C$ 上, 若 $\tan \angle B A D=\frac{\sqrt{2}}{4}, \sin \angle A D C \cdot \sin B=\frac{1}{3}$, 则 $\frac{A B^2+A D^2}{A B \cdot A D}=$
在 $\triangle A B C$ 中 (角 $A$ 为最大内角, $a, b, c$ 为 $\angle A 、 \angle B 、 \angle C$ 所对的边) 和 $\triangle A_1 B_1 C_1$ 中, 若 $\sin A=\cos A_1, \sin B=\cos B_1, \sin C=\cos C_1$, 则 $\frac{4 \sqrt{5} S_{\triangle A B C}}{a^2-b^2-c^2}=$
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$, 已知 $B=60^{\circ}, b=4$, 则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为
在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $c^2=(a-$ $b)^2+a b$, 且 $c=\sqrt{3}$, 则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为
锐角 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且满足 $(a-b)(\sin A+\sin B)=(c-b) \sin C$, 若 $a=\sqrt{3}$, 则 $b+c$ 的取值范围是
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $\sin (A+C)$ $\left(\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c}\right)=\frac{\sin A}{\sin C}, B=\frac{\pi}{3}$, 则 $a+c$ 的取值范围是