三角函数24

数学

一、填空题（共 28 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 若

3 \sin α - \sin β = \sqrt{10}, α + β = \frac{π}{2}

, 则

\sin α =

\cos 2 β =

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2. 记锐角

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 已知

\frac{\sin (A - B)}{\cos B} = \frac{\sin (A - C)}{\cos C}

.
(1) 求证:

B = C

;
（2）若

a \sin C = 2

, 求

\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}

的最大值.

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3. 已知在

△ A B C

中, 角

A, B, C

的对边分别是

a, b, c

, 在①

a \sin C - c \cos (A - \frac{π}{6}) = 0

; ②

2 c \cos A =

a \cos B + b \cos A

; (3)

b \sin B + c \sin C - a \sin A - b \sin C = 0

中任选一个作为条件解答下面两个问题.
(1) 求角

A

;
(2) 已知

b = 6, S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}

, 求

a

的值.

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4. 在

△ A B C

中,

E

为边

B C

中点, 若

| B C | = 8, △ A C E

的外接圆半径为 3 , 则

A B^{2} + A C^{2}

的最大值为

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5. 已知

a > 0, f (x) = \sin (x - \frac{π}{3}) - a \sin x

的最大值为

\sqrt{3}

, 则

a =

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△ A B C

是针角三角形, 内角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c, a = 2, b = 4

, 则最大边

c

的取值范围为

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7. 已知函数

f (x) = | \sin \frac{ω x}{2} | + | \cos \frac{ω x}{2} | (ω > 0)

在区间

(\frac{π}{3}, \frac{3 π}{4})

上单调递增, 则

ω

的取值范围

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x \in (0, \frac{π}{2})

, 求函数

y = \sin^{2} x \cos x

的最大值为

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9. 在三角形

A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 若

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sqrt{3} \cos B}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2}

, 则该三角形周长的最大值为

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10. 已知

△ ABC

中，

∠ B A C = 60^{\circ}, A B = 2 ， B C = \sqrt{6}, AD

平分

∠ B A D

交

BC

于点

D

，则

AD =

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11. 已知

\tan α = 3

, 则

\tan 2 α =

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12. 在

△ A B C

中, 角

A 、 B 、 C

所对的三边长分别为

a 、 b 、 c

, 若

a = 4, b = 5, c = 6

, 则

\sin A =

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13. 已知

α, β \in R

, 且

\cos α + \cos β = \frac{1}{3}, \tan (α + β) = \frac{24}{7}

, 则

\sin α + \sin β =

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14. 设

\tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{4}, \tan (α + \frac{π}{4}) =

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15. 已知

\tan α = 2

, 则

\sin 4 α =

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16. 已知

M (1, 2)

是角

α

终边上的一点, 则

\sin 2 α =

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17. 已知

α

为锐角,

\sin α = \frac{4}{5}

, 则

\sin (α + \frac{π}{4}) =

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18. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c, △ A B C

的面积为

S

, 已知

\frac{4 S}{\tan B} =

a^{2} \cos B + a b \cos A

.
(1) 求

B

;
(2) 若

b = 3, △ A B C

的周长为

l

, 求

\frac{S}{l}

的最大值.

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19. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的 “三斜求积” 公式. 设

△ A B C

的三个内角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 面积为

S

, “三斜求积” 公式表示为

S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}

. 在

△ A B C

中, 若

a^{2} \sin C = 6 \sin A, (a + c)^{2} = 16 + b^{2}

, 则用 “三斜求积” 公式求得

△ A B C

的面积为

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20. 已知三角形的内角

A 、 B 、 C

所对的边分别为

a 、 b 、 c

, 若

a = \sqrt{2}, b^{2} - c^{2} =

6 , 则角

A

最大时, 三角形

A B C

的面积等于

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21. 已知

a, b, c

分别为

△ A B C

三个内角

A, B, C

的对边, 若

b = 4 + 2 \sqrt{2} - c

\cos B = \frac{3}{4}, \tan C = - \sqrt{7}

, 则

a =

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22. 在

△ A B C

中,

A 、 B 、 C

所对的边分别为

a 、 b 、 c

, 又

a = 2 . c = \sqrt{6} . C =

\frac{π}{3}

, 则

b =

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23. 在 Rt

△ A B C

中, 斜边为

A B

, 点

D

在边

B C

上, 若

\tan ∠ B A D = \frac{\sqrt{2}}{4}, \sin ∠ A D C \cdot \sin B = \frac{1}{3}

, 则

\frac{A B^{2} + A D^{2}}{A B \cdot A D} =

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24. 在

△ A B C

中 (角

A

为最大内角,

a, b, c

为

∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C

所对的边) 和

△ A_{1} B_{1} C_{1}

中, 若

\sin A = \cos A_{1}, \sin B = \cos B_{1}, \sin C = \cos C_{1}

, 则

\frac{4 \sqrt{5} S_{△ A B C}}{a^{2} - b^{2} - c^{2}} =

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25. 在

△ A B C

中, 角

A 、 B 、 C

所对的边分别为

a 、 b 、 c

, 已知

B = 60^{\circ}, b = 4

, 则

△ A B C

面积的最大值为

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26. 在

△ A B C

中, 内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 若

c^{2} = (a -

b)^{2} + a b

, 且

c = \sqrt{3}

, 则

△ A B C

面积的最大值为

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27. 锐角

△ A B C

中, 内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 且满足

(a - b) (\sin A + \sin B) = (c - b) \sin C

, 若

a = \sqrt{3}

, 则

b + c

的取值范围是

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28. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 若

\sin (A + C)

(\frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c}) = \frac{\sin A}{\sin C}, B = \frac{π}{3}

, 则

a + c

的取值范围是

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