2023 年浙江省十校联盟高考数学第三次联考试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

在 $\triangle A B C$ 中, $E$ 为边 $B C$ 中点, 若 $|B C|=8, \triangle A C E$ 的外接圆半径为 3 , 则 $A B^2+A C^2$ 的最大值为

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答案：

104

解析：

如图

$E$ 为边 $B C$ 中点,
则 $\overrightarrow{A E}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$, 两边平方可得, $\overrightarrow{A E}^2=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{A B}^2+\overrightarrow{A C}^2+2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}\right)$,
$$
\overrightarrow{A B}^2+\overrightarrow{A C}^2=4 \overrightarrow{A E}^2-2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=4 \overrightarrow{A E}^2-2(\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{E B}) \cdot(\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{E C})=4 \overrightarrow{A E}^2-2(\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{E B}) \cdot(\overrightarrow{A E}-\overrightarrow{E B})=
$$

$$
\begin{aligned}
& 4 \overrightarrow{A E}^2-2\left(\overrightarrow{A E}^2-\overrightarrow{E B}^2\right)=2\left(\overrightarrow{A E}^2+\overrightarrow{E B}^2\right), \\
& \because|\overrightarrow{B C}|=8, \\
& \therefore|\overrightarrow{B E}|=4,
\end{aligned}
$$
$\because \triangle A C E$ 的外接圆半径为 3 ,
$\therefore|\overrightarrow{A E}| \leqslant 6$, 当且仅当 $A E$ 为圆直径时等号成立.
故 $\overrightarrow{A B}^2+\overrightarrow{A C}^2=2\left(\overrightarrow{A E}^2+\overrightarrow{E B}^2\right) \leqslant 2(36+16)=104$, 当且仅当 $A E$ 为圆直径时等号成立.
故答案为: 104 .

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