题号:1031    题型:填空题    来源:2022 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国甲卷)
类型:高考真题
已知 $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 在边 $B C$ 上, $\angle A D B=120^{\circ}, A D=2, C D=2 B D$. 当 $\frac{A C}{A B}$ 取 得最小值时, $B D=$
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答案:
$\sqrt{3}-1$

解析:

令 $B D=t$, 以 $D$ 为坐标原点, $D C$ 为 $x$ 轴建立直角坐标系, 则 $C(2 t, 0), A(1, \sqrt{3}), B(-t, 0)$,
$$
\frac{A C^{2}}{A B^{2}}=\frac{(2 t-1)^{2}+3}{(t+1)^{2}+3}=4-\frac{12}{t+1+\frac{3}{t+1}} \geq 4-2 \sqrt{3}
$$
当且仅当 $t+1=\sqrt{3}$, 即 $B D=\sqrt{3}-1$ 时取等号.

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