已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且满足 $b \sin \frac{B+C}{2}=a \sin B$.
(1) 求 $A$;
(2) 若 $a=4, \triangle A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$, 求 $\triangle A B C$ 的周长.
【答案】 (1) $\because b \sin \frac{B+C}{2}=a \sin B, \therefore$ 结合正弦 定理有 $\sin B \sin \frac{B+C}{2}=\sin A \sin B$.
$$
\because B \in(0, \pi), \therefore \sin B \neq 0, \therefore \sin \frac{B+C}{2}=
$$
$\sin A$, 即 $\cos \frac{A}{2}=\sin A ,$
$$
\begin{gathered}
\therefore \cos \frac{A}{2}=2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} . \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots 3 \text { 分 } \\
\because A \in(0, \pi), \therefore \frac{A}{2} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \therefore \cos \frac{A}{2} \neq 0, \\
\therefore \sin \frac{A}{2}=\frac{1}{2}, \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots 5 \text { 分 } \\
\therefore \frac{A}{2}=\frac{\pi}{6} \text {, 即 } A=\frac{\pi}{3}
\end{gathered}
$$

(2) 因为 $\triangle A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}, A=\frac{\pi}{3}$,
7 分
由三角形的面积公式得 $\frac{1}{2} b c \sin \frac{\pi}{3}=4 \sqrt{3}$, 化
简得 $b c=16$,

又根据余弦定理 $4^2=b^2+c^2-2 b c \cos \frac{\pi}{3}$ 得 $b^2+c^2-b c=16$,
所以 $(b+c)^2-3 b c=16, \cdots \cdots \cdots \cdots 10$ 分 所以 $(b+c)^2=16+3 b c=16+48=64$, 所 以 $b+c=8$,

故 $\triangle A B C$ 的周长为 $a+b+c=4+8=12$.



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