题号:2091    题型:填空题    来源:2023届皖南八校高三开学考试
类型:模拟考试
已知 $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, \sin \alpha=\frac{3}{5}, \tan (\alpha-\beta)=-\frac{1}{3}$, 则 $\tan \beta=$
编辑试题 我来讲解
答案:
$\frac{13}{9}$

解析:

因为 $\alpha < \frac{\pi}{2}, \sin \alpha=\frac{3}{5}$, 所以 $\cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^2 \alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$,
所以 $\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{3}{4}$. 因为 $ \tan(\alpha-\beta)=-\frac{1}{3} $,
所以 $\tan \beta=\tan [\alpha-(\alpha-\beta)]=\frac{\tan \alpha+\tan (\alpha-\beta)}{1+\tan \alpha \cdot \tan (\alpha-\beta)}$. $=\frac{\frac{3}{4}-\left(-\frac{1}{3}\right)}{1+\frac{3}{4} \times\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{\frac{13}{12}}{\frac{3}{4}}=\frac{13}{9}$

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