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已知等边三角形 $A B C$ 的边长为 6 , 点 $P$ 满足 $3 \overrightarrow{P A}+2 \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\mathbf{0}$, 则 $|\overrightarrow{P A}|=$
【答案】 $\sqrt{7}$

【解析】 建立如图所示坐标系, 其中 $O$ 为 $B C$ 的中点, 所以 $A(0,3 \sqrt{3}), B(-3,0), C(3,0)$.




设 $P(x, y)$, 则 $\overrightarrow{P A}=(-x, 3 \sqrt{3}-y), \overrightarrow{P B}=(-3-x,-y), \overrightarrow{P C}=(3-x,-y)$,
又因为 $3 \overrightarrow{P A}+2 \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\mathbf{0}$,
所以 $3(-x, 3 \sqrt{3}-y)+2(-3-x,-y)+(3-x,-y)=0$,
$(-3 x-6-2 x+3-x, 9 \sqrt{3}-3 y-2 y-y)=0$, 即 $-6 x-3=0,9 \sqrt{3}-6 y=0$, 所以 $P\left(-\frac{1}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$,
所以 $\overrightarrow{P A} \mid=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{7}$.
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