在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 若公比 $q=4$, 且前 3 项之和等于 21 , 则该数列的通 项公式 $a_{n}=$
已知 $(x+1)(x-1)^5=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_1 x^4+a_5 x^5+a_6 x^6$, 则 $a_0+a_3$ 的值
等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 公差 $d>0 . a_1, a_4$ 是函数 $f(x)=4 \ln x+\frac{1}{2} x^2-5 x$ 的极值 点, 则 $S_6=$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列, $a_5=3$, 则 $S_9=$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列, 其前 $n$ 项和为 $S_n$, 前三项和为 13 , 前三项积为 27 , 则 $S_5=$
已知正项等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $3 a_n=a_{3 n}$, 且 $a_4$ 是 $a_3-3$ 与 $a_8$ 的等比中项, 则 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项互异, 且 $a_n>0, \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=2\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$, 则 $\dfrac{a_1-a_n}{a_1 a_2+a_2 a_3+\cdots+a_{n-1} a_n}$ $=$
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 若 $a_2+a_6=10$, 则 $S_7=$
在公差为 $d$ 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, 已知 $a_1+a_2+a_3=3, a_4+a_6=4$, 则 $d=$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=\left(-\frac{4}{5}\right)^n \cdot \frac{n+1}{2}$, 设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的最大项和最小项分别 为 $M, N$, 则 $M+N=$
如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做 “和差等比数列” . 已知 $\left\{a_n\right\}$ 是 “和差等比数列” , $a_1=2, a_2=3$, 则使得不等式 $a_n>10$ 的 $n$ 的最小值是
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中: $a_1=2, a_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}a_n-1, n \text { 为奇数, } \\ 2 a_n+2, n \text { 为偶数, }\end{array}\right.$ 则 $\left\{a_n\right\}$ 的前 8 项和为
在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, 若 $a_1+a_3=62, a_2+a_4=31$, 则当 $a_1 a_2 \cdots a_n$ 取得最大值时, $n=$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=0, a_{n+1}=-a_n^2+a_n+c\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$. 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 为单调递增数列, 则实 数 $c$ 的取值范围为
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $S_n=n+1$, 则数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为
已知 $\left\{a_n\right\}$ 是单调递增的等比数列, $a_4+a_5=24, a_3 a_6=128$, 则公比 $q$ 的值是
已知 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列. $\left\{b_n\right\}$ 是等比数列 (公比不为 1$),\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 且 $a_1=b_1=3$, $a_4=b_2, a_1 a_5=T_3$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通顶公式;
(2) 设 $c_n=\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n},\left|c_n\right|$ 的前 $n$ 项和为 $M_n$. 对于任意正整数 $n$, 当 $M_n < m$ 恒成立吋, 求 $m$ 的最小值.
已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列, $a_2 a_4 a_5=a_3 a_6, a_9 a_{10}=-8$, 则 $a_7=$
已知 $S_n$ 为等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 且 $a_1=3, q=2$, 则 $S_6=$
数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n a_{n+1}+a_n+1$, 且 $a_1=1+\sqrt{2}-\sqrt{3}$, 求 $\left\{a_n\right\}$ 的前 2024 项的积
已知 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 均为等差数列, 且 $a_{11}=32, b_{21}=43$ 。令 $c_n=(-1)^n \cdot\left(a_n-b_n\right)$, 数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 10 项和为 5 , 前 13 项和为 -5 , 则数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 100 项和为
已知 $n$ 个正整数组成的集合中, 任意两个元素的差要么恰好被 5 整除, 要么恰 好被 25 整除, 则 $n$ 的最大值为
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $S_{11}>S_{10}>S_{12}$, 则满足 $S_n>0$ 的正整数 $n$ 的 为
设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 已知 $a_1+a_3+a_7+a_9=28$, 则 $S_9=$
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, 若 $a_1=2, a_{n+1}=1-\frac{1}{a_n}$, 则 $a_{2020}=$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=2^n-1$, 则 $\log _2 a_{10}=$
已知 $\left\{a_n\right\}$ 是递增的等比数列，且满足 $a_3=1, a_1+a_3+a_5=\frac{91}{9}$, 则 $a_4+a_6+a_8=$
在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_3, a_7$ 是 $f(x)=\frac{1}{3} x^3-4 x^2+4 x-1$ 的极值点, 则 $a_5=$