在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, 内角 $A 、 B 、 C$ 的对边长分别为 $a 、 b 、 c$, 已知 $a^{2}-c^{2}=2 b$
, 且 $\sin A \cos C=3 \cos A \sin C$, 求 $b$.
求$ \sin 2 x+\sqrt{2} \sin x$ 的最大值
在 $\triangle A B C$ 中, 设角 $\mathrm{A}, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$. 已知向量 $\vec{m}=(\sqrt{3} \cos A, \sin A), \vec{n}=(1,-1)$, 且 $\vec{m} / / \vec{n}$.
(1) 求角 $\mathrm{A}$ 的大小;
(2) 若 $a=2 \sqrt{6}, a \sin B-c \sin A=0$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A 、 B 、 C$ 对应边为 $a 、 b 、 c$, 其中 $b=2$.
(1) 若 $A+C=\frac{2 \pi}{3}$, 且 $a=2 c$, 求边长 $c$ 的值;
(2) 若 $A-C=\frac{\pi}{12}, a=\sqrt{2} c \sin A$, 求 $S_{\triangle A B C}$.
在斜三角形 $A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 满足 $a \sin A+4 b \sin C \cos ^2 A=$ $b \sin B+c \sin C$.
(1)求角 $A$ 的大小;
(2) 当 $a=3$ 时, 求 $b+c$ 的取值范围.
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$. 已知 $4 a=\sqrt{5} c, \cos C=\frac{3}{5}$.
(1) 求 $\sin A$ 的值;
(2) 若 $b=11$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$. 已知 $(b-a)\left[\sin (B+C)+\sin \left(A^{\prime}+C\right)\right]=\sin C(a+c)$.
(1) 求 $B$;
(2) 若 $\angle A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$, 且 $B D=2$, 求 $b$ 的最小值.
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $2 b \cos A-a=2 c$.
(1) 求角 $B$;
(2) 设 $\angle A B C$ 的角平分线 $B D$ 交 $A C$ 于点 $D$, 若 $B D=2$, 求 $\triangle A B C$ 的面积的最小值.
在锐角 $\triangle A B C$ 中, $B C$ 在 $A B$ 上的投影长等于 $\triangle A B C$ 的外接圆半径 $R$.
(1) 求 $\sin A \cos B$ 的值;
(2) 若 $4 \cos A \sin B=1$, 且 $A B=3$, 求 $R$.
设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 且有 $2 \sin \left(B+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{b+c}{a}$.
(1) 求角 $A$;
(2) 若 $B C$ 边上的高 $h=\frac{\sqrt{3}}{4} a$, 求 $\cos B \cos C$.
$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $b=2 c \sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right)$.
(1) 求 $C$;
(2) 若 $c=1, D$ 为 $\triangle A B C$ 的外接圆上的点, $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B A}^2$, 求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 满足 $b \sin B+c \sin C=\sin A \cdot(a-2 b \sin C)$.
(1)求角 $A$ 的余弦值;
(2) 若 $D$ 是边 $A B$ 的中点且 $C D=2$, 求 $b+\sqrt{2} c$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=2 \sqrt{3} \sin x \sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)-2 \cos x \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)+1$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的最值; 来源: 高三答案公众号
(2) 设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $f(A)=2, b=2$, 且 $2 \sin B+$ $\sin C=\sqrt{7} \sin A$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $2 \sin A \sin C \cos B+\cos B=3 \sin ^2 B-$ $\cos (A-C)$.
(1) 证明: $a+c=2 b$;
(2) 若 $b=2, \cos B=\frac{5}{13}$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
已知在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 其中 $\tan 2 C=\frac{3}{4}, C$ 为钝角, 且 $\frac{b}{a} \cos A=2 \cos B$.
(1) 求角 $B$ 的大小;
(2)若 $\triangle A B C$ 的面积为 6 , 求 $\triangle A B C$ 的周长.
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $a, b, c, \frac{\sin B}{2 b}=\frac{\cos C}{c}$.
(1) 求 $\frac{\sin C+2 \cos C}{2 \sin C-\cos C}$ 的值;
(2) 若 $c=2 \sqrt{5}, \triangle A B C$ 的面积为 5 , 求 $\triangle A B C$ 的周长.
在 $\triangle A B C$ 中, $a 、 b 、 c$ 分别是角 $A 、 B 、 C$ 的对边, $\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}=1$.
(1)求 $B$ 的大小;
(2)若 $b=2$, 求 $\triangle A B C$ 的周长 $L$ 的取值范围.
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $\triangle A B C$ 面积为 $\sqrt{3}, D$ 为 $B C$ 的中点, 且 $A D=1$.
(1) 若 $\angle A D C=\frac{\pi}{3}$, 求 $\tan B$;
(2) 若 $b^2+c^2=8$, 求 $b, c$.
已知在 $\triangle A B C$ 中, $A+B=3 C, 2 \sin (A-C)=\sin B$.
(1) 求 $\sin A$;
(2) 设 $A B=5$, 求 $A B$ 边上的高.
在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\angle B A C=120^{\circ}, A B=2, A C=1$.
(1) 求 $\sin \angle A B C$;
(2) 若 $D$ 为 $B C$ 上一点, 且 $\angle B A D=90^{\circ}$, 求 $\triangle A D C$ 的面积.
已知 $\dfrac{x}{\sin ^2 72^{\circ}+2024}+\dfrac{y}{\sin ^2 72^{\circ}-2023}=1, \dfrac{x}{\sin ^2 18^{\circ}+2024}+\dfrac{y}{\sin ^2 18^{\circ}-2023}=1$, 求 $x+y$ 的值
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分別是 $a, b, c$. 已知 $a=\sqrt{39}, b=2, \angle A=120^{\circ}$.
(1) 求 $\sin B$ 的值;
(2) 求 $c$ 的值;
(3) 求 $\sin (B-C)$.
已知 $\triangle A B C$ 中角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 且满足 $2 c \sin A \cos B+2 b \sin A \cos C=\sqrt{3} a, c>a$.
(1) 求角 $A$;
(2) 若 $b=2, \triangle A B C$ 的面积 $2 \sqrt{3}, D$ 是 $B C$ 边上的点, 且 $\overrightarrow{C D}=3 \overrightarrow{D B}$, 求 $A D$.
已知 $a, b, c$ 为 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边, 向量 $\boldsymbol{m}=(\sin B-\sin A, \sin C-$ $\sin A), \boldsymbol{n}=(a+c, b)$, 且 $\boldsymbol{m} / / \boldsymbol{n}$.
(1) 求角 $C$;
(2) 若 $b-4, \triangle A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}, D$ 为 $B C$ 中点, 求线段 $A D$ 的长.
已知 $a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边, 且 $c \sin B \sin C$ $=(c \cos B+2 b-a) \cos \mathrm{C}$.
(1) 求角 $C$;
(2) 若 $c^2=2 a b, \triangle A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 求 $a+b$ 的值.
$\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$, 且 $\sqrt{3} a \cos B=2 c \sin A-\sqrt{3} b \cos A$.
(I) 求角 $\mathrm{A}$ 的大小;
(II) 若 $\triangle A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}, a$ 是 $b, c$ 的等差中项, 求 $\triangle A B C$ 的周长.
设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 且 $2 a \cos B=2 c-b$.
(1) 求角 $A$;
(2) 若 $a=7$, 且 $\triangle A B C$ 的内切圆半径 $r=\sqrt{3}$, 求 $\triangle A B C$ 的面积 $S$.
已知 $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C=\frac{\pi}{3}, \angle A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D, B D=2 \sqrt{3}$.
(1) 若 $A D=2 D C$, 求 $A C$ 的长度;
(2) 求 $\triangle A B C$ 面积的最小值.
在 $\triangle A B C$ 中, 设 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 且满足 $c \cos A-a \cos C=a+b$.
(1) 求角 $C$;
(2)若 $c=5, \triangle A B C$ 的内切圆半径 $r=\frac{\sqrt{3}}{4}$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.