在 $\triangle A B C$ 中, 设角 $\mathrm{A}, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$. 已知向量 $\vec{m}=(\sqrt{3} \cos A, \sin A), \vec{n}=(1,-1)$, 且 $\vec{m} / / \vec{n}$.
(1) 求角 $\mathrm{A}$ 的大小;
(2) 若 $a=2 \sqrt{6}, a \sin B-c \sin A=0$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
【答案】 (1) 因为 $\vec{m}=(\sqrt{3} \cos A, \sin A), \vec{n}=(1,-1), \vec{m} / / \vec{n}$.
所以 $\sin A=-\sqrt{3} \cos A$,
可得 $\tan A=-\sqrt{3}$, 又 $A \in(0, \pi)$.
所以 $A=\frac{2 \pi}{3}$
(2) $a \sin B-c \sin A=0$
由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 可得
$a b=c a$
则 $b=c$, 又 $a=2 \sqrt{6}, A=\frac{2 \pi}{3}$.
由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2 b c \cos A$, 得 $b=c=2 \sqrt{2}$.

所以 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \times(2 \sqrt{2})^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=2 \sqrt{3}$.


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