在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A 、 B 、 C$ 对应边为 $a 、 b 、 c$, 其中 $b=2$.
(1) 若 $A+C=\frac{2 \pi}{3}$, 且 $a=2 c$, 求边长 $c$ 的值;
(2) 若 $A-C=\frac{\pi}{12}, a=\sqrt{2} c \sin A$, 求 $S_{\triangle A B C}$.
【答案】 (1) $B=\frac{\pi}{3}$, 由余弦定理, $\cos B=\frac{4 c^2+c^2-2^2}{2 \cdot 2 c \cdot c}=\frac{1}{2} \Rightarrow c^2=\frac{4}{3} \Rightarrow c=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
(2) 由正弦定理, $a=\sqrt{2} c \sin A \Rightarrow \sin A=\sqrt{2} \sin C \sin A \Rightarrow \sin C=\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow C=\frac{\pi}{4}$ 或 $\frac{3 \pi}{4}$, $\therefore A=C+\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}$ 或 $\frac{5 \pi}{6}$ (出现两个钝角, 舍去), 即 $B=\frac{5 \pi}{12}$, 由正弦定理,
$$
\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A} \Rightarrow a=3 \sqrt{2}-\sqrt{6}, \quad \therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=3-\sqrt{3}
$$


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