湘豫名校联考2022.12月理科数学试卷答案（老高考区）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

在斜三角形 $A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 满足 $a \sin A+4 b \sin C \cos ^2 A=$ $b \sin B+c \sin C$.
(1)求角 $A$ 的大小;
(2) 当 $a=3$ 时, 求 $b+c$ 的取值范围.

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我来讲解

答案：

(1) 因为 $a \sin A+4 b \sin C \cos ^2 A=b \sin B+c \sin C$,
所以由正弦定理, 得 $a^2+4 b c \cos ^2 A=b^2+c^2$.
所以 $2 \cos ^2 A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}=\cos A$, 解得 $\cos A=0$ 或 $\cos A=\frac{1}{2}$.
因为 $A \in(0, \pi)$, 所以 $A=\frac{\pi}{3}$ 或 $A=\frac{\pi}{2}$.
因为 $\triangle A B C$ 为料三角形,所以 $A=\frac{\pi}{3}$.

(2) 由 (1) 可知 $A=\frac{\pi}{3}$, 当 $a=3$ 时,
由正弦定理,得 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2 \sqrt{3}$,
所以 $b+c=2 \sqrt{3} \sin B+2 \sqrt{3} \sin C$
$=2 \sqrt{3} \sin B+2 \sqrt{3} \sin \left(\frac{2 \pi}{3}-B\right)$
$=2 \sqrt{3} \sin B+3 \cos B+\sqrt{3} \sin B=6 \sin \left(B+\frac{\pi}{6}\right)$.
因为 $B \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{3}\right), B+\frac{\pi}{6} \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right) \cup\left(\frac{2 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{6}\right)$,
所以 $\sin \left(B+\frac{\pi}{6}\right) \in\left(\frac{1}{2}, 1\right]$,
所以 $b+c \in(3,6]$.

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