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已知 $\triangle A B C$ 中角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 且满足 $2 c \sin A \cos B+2 b \sin A \cos C=\sqrt{3} a, c>a$.
(1) 求角 $A$;
(2) 若 $b=2, \triangle A B C$ 的面积 $2 \sqrt{3}, D$ 是 $B C$ 边上的点, 且 $\overrightarrow{C D}=3 \overrightarrow{D B}$, 求 $A D$.
                        
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