题号:3322    题型:解答题    来源:知乎论坛20221205 入库日期 2022/12/5 7:44:22
求$ \sin 2 x+\sqrt{2} \sin x$ 的最大值
【答案】 引入待定常数 $m > 0$ ,同时根据AM-GM不等式(若干正数的算术平均值(arithmetic mean)不小于其几何平均值)可以得到

$$
\begin{aligned}
y & =\sin 2 x+\sqrt{2} \sin x=2 \sin x\left(\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
& =\frac{2}{m} \cdot \sin x\left(m \cos x+\frac{\sqrt{2}}{2} m\right) \\
(\text { AG-GM }) & \leqslant \frac{1}{2 m}\left(\sin x+m \cos x+\frac{\sqrt{2}}{2} m\right)^2 \\
& =\frac{1}{2 m}\left(\sqrt{1+m^2} \sin (x+\varphi)+\frac{\sqrt{2}}{2} m\right)^2 \\
& \leqslant \frac{1}{2 m}\left(\sqrt{1+m^2}+\frac{\sqrt{2}}{2} m\right)^2
\end{aligned}
$$

两次等号成立时满足

$$
\frac{\sin x}{\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}}=m=\frac{\cos x}{\sin x},
$$

$$
\cos ^2 x+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x=\sin ^2 x=1-\cos ^2 x
$$
解得
$$
\cos x=\frac{\sqrt{34}-\sqrt{2}}{8}
$$

所以最大值为

$$
y_{\max }=\frac{\sqrt{\sqrt{17}+7}}{2}\left(\frac{\sqrt{34}-\sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) .
$$


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