题号:5836    题型:解答题    来源:2023年安徽省皖江名校联盟高考数学第五次摸底联考试卷
在锐角 $\triangle A B C$ 中, $B C$ 在 $A B$ 上的投影长等于 $\triangle A B C$ 的外接圆半径 $R$.
(1) 求 $\sin A \cos B$ 的值;
(2) 若 $4 \cos A \sin B=1$, 且 $A B=3$, 求 $R$.
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答案：
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解: (1) $\because \triangle A B C$ 是锐角三角形, $B C$ 在 $A B$ 上的投影长等于 $\triangle A B$ 的外接圆半径 $R$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore B C \cdot \cos B=R \text {, 又 } \because B C=2 R \sin A, \\
& \therefore 2 R \sin A \cos B=R, \\
& \therefore \sin A \cos B=\frac{1}{2} ;
\end{aligned}
$$
(2) $\because \sin A \cos B=\frac{1}{2}, \cos A \sin B=\frac{1}{4}$,
两式相加得： $\sin A \cos B+\cos A \sin B=\frac{3}{4}$,
即 $\sin (A+B)=\frac{3}{4}$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore \sin (\pi-C)=\frac{3}{4}, \therefore \sin C=\frac{3}{4}, \\
& \text { 又 } \because A B=3, \\
& \therefore 2 R=\frac{A B}{\sin C}=4, \\
& \therefore R=2 .
\end{aligned}
$$
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