江苏省苏州市2022-2023学年度第二学期高一期中调研试题-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 满足 $b \sin B+c \sin C=\sin A \cdot(a-2 b \sin C)$.
(1)求角 $A$ 的余弦值;
(2) 若 $D$ 是边 $A B$ 的中点且 $C D=2$, 求 $b+\sqrt{2} c$ 的取值范围.

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答案：

(1) 在 $\triangle A B C$ 中, 由正弦定理, 有 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$,
$$
\because b \sin B+c \sin C=\sin A \cdot(a-2 b \sin C) \text {, }
$$
$\therefore \sin ^2 B+\sin ^2 C=\sin A \cdot(\sin A-2 \sin B \sin C)$, 即 $b^2+c^2=a^2-2 b c \sin A$
在 $\triangle A B C$ 中, 由余弦定理, 有 $a^2=b^2+c^2-2 b c \cos A$
$\therefore 2 b c \sin A=-2 b c \cos A$, 则 $\sin A=-\cos A$
$\because A \in(0, \pi), \therefore A=\frac{3 \pi}{4}$, 则 $\cos A=-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

(2) 如图,

设 $\angle A C D=\alpha$, 则 $\angle A D C=\frac{\pi}{4}-\alpha, \alpha \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$,
在 $\triangle A C D$ 中, 根据正弦定理, 有 $\frac{C D}{\sin A}=\frac{A D}{\sin \angle A C D}=\frac{A C}{\sin \angle A D C}$

$$
\therefore A D=\frac{c}{2}=2 \sqrt{2} \sin \alpha, \quad A C=b=2 \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)
$$
设 $f(\alpha)=b+\sqrt{2} c=2 \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)+8 \sin \alpha=2 \cos \alpha+6 \sin \alpha$
$$
=2 \sqrt{10}\left(\frac{1}{\sqrt{10}} \cos \alpha+\frac{3}{\sqrt{10}} \sin \alpha\right)=2 \sqrt{10} \sin (\alpha+\theta) \text {, }
$$
（其中 $\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{10}}, \cos \theta=\frac{3}{\sqrt{10}}$, 易得 $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{6}\right)$ )
又 $(\alpha+\theta) \in\left(\theta, \frac{\pi}{4}+\theta\right) \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 所以 $f(\alpha)$ 在 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增,
所以 $f(\alpha) \in\left(2 \sqrt{10} \sin \theta, 2 \sqrt{10} \sin \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\right)$,
$$
\sin \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \theta+\cos \theta)=\frac{2 \sqrt{5}}{5} \text {, }
$$
所以 $b+\sqrt{2} c$ 的取值范围为 $(2,4 \sqrt{2})$.

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