2023年普通高等学校招生全国统一考试答案模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知函数 $f(x)=2 \sqrt{3} \sin x \sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)-2 \cos x \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)+1$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的最值; 来源: 高三答案公众号
(2) 设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $f(A)=2, b=2$, 且 $2 \sin B+$ $\sin C=\sqrt{7} \sin A$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.

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答案：

解: (1) 因为 $f(x)=2 \sqrt{3} \sin x \sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)-2 \cos x \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)+1$
$$
\begin{aligned}
& =2 \sqrt{3} \sin x \cos x-2 \cos ^2 x+1=\sqrt{3} \sin 2 x-\cos 2 x \\
& =2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right), \text { (2 分) }
\end{aligned}
$$
所以 $f(x)$ 的最大值为 2 , 最小值为 -2 . (3 分)
(2) 结合 (1) 可知 $f(A)=2 \sin \left(2 A-\frac{\pi}{6}\right)=2$, 所以 $\sin \left(2 A-\frac{\pi}{6}\right)=1$. 因为 $A \in(0, \pi)$, 所以 $2 A-\frac{\pi}{6} \in\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}\right)$,
则 $2 A-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}, A=\frac{\pi}{3}$. (6 分)
由余弦定理得 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}=\frac{4+c^2-a^2}{4 c}=\frac{1}{2}$,
化简得 $a^2=c^2-2 c+4(1)$.
又 $2 \sin B+\sin C=\sqrt{7} \sin A$, 由正弦定理可得 $2 b+c=\sqrt{7} a$, 即 $4+c=\sqrt{7} a(2)$. (8 分)
结合(1)(2)得 $a=\sqrt{7}, c=3$ 或 $a=\frac{2 \sqrt{7}}{3}, c=\frac{2}{3}$. (9 分)
$c=3$ 时, $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{3 \sqrt{3}}{2} ; c=\frac{2}{3}$ 时, $S_{\triangle A S C}=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
综上, $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$. (10 分)

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