2022年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$. 已知 $4 a=\sqrt{5} c, \cos C=\frac{3}{5}$.
(1) 求 $\sin A$ 的值;
(2) 若 $b=11$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.

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答案：

【小问 1 详解】
由于 $\cos C=\frac{3}{5}, 0 < C < \pi$, 则 $\sin C=\frac{4}{5}$. 因为 $4 a=\sqrt{5} c$, 由正弦定理知 $4 \sin A=\sqrt{5} \sin C$, 则 $\sin A=\frac{\sqrt{5}}{4} \sin C=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
【小问 2 详解】
因为 $4 a=\sqrt{5} c$, 由余弦定理, 得
$$
\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}=\frac{a^2+121-\frac{16}{5} a^2}{22 a}=\frac{11-\frac{a^2}{5}}{2 a}=\frac{3}{5},
$$
即 $a^2+6 a-55=0$, 解得 $a=5$, 而 $\sin C=\frac{4}{5}, b=11$,
所以 $\triangle A B C$ 的面积 $S=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} \times 5 \times 11 \times \frac{4}{5}=22$.

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