武汉市2023届高中毕业生四月调研考试数学试卷及参考答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 且有 $2 \sin \left(B+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{b+c}{a}$.
(1) 求角 $A$;
(2) 若 $B C$ 边上的高 $h=\frac{\sqrt{3}}{4} a$, 求 $\cos B \cos C$.

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答案：

（1）由 $2 \sin \left(B+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sin B+\sin C}{\sin A}$ ，则 $(\sqrt{3} \sin B+\cos B) \sin A=\sin B+\sin A \cos B+\sin B \cos A$ ，
有 $\sqrt{3} \sin A=1+\cos A$ ，即 $2 \sin \left(A-\frac{\pi}{6}\right)=1$ ，所以 $A=\frac{\pi}{3}$.

(2) 由 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a h=\frac{1}{2} b c \sin A$ ，则 $\frac{\sqrt{3}}{8} a^2=\frac{\sqrt{3}}{4} b c$ ，所以 $a^2=2 b c$ 有 $\sin ^2 A=2 \sin B \sin C$ ，则 $\sin B \sin C=\frac{3}{8}$ ，
又 $\cos A=-\cos (B+C)=\sin B \sin C-\cos B \cos C=\frac{1}{2}$ ，则 $\cos B \cos C=-\frac{1}{8}$.

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