已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=b_{1}=1, a_{5}=5\left(a_{4}-a_{3}\right), b_{5}=4\left(b_{4}-b_{3}\right)$.
(I) 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式;
(II) 记 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 求证: $S_{n} S_{n+2} < S_{n+1}^{2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$;
(III) 对任意的正整数 $n$, 设 $c_{n}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left(3 a_{n}-2\right) b_{n}}{a_{n} a_{n+2}}, & n \text { 为奇数, } \\ \frac{a_{n-1}}{b_{n+1}} & n \text { 为偶数. }\end{array}\right.$ 求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和.