2023 年浙江省十校联盟高考数学第三次联考试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

在数列 $\left\{q_n\right\}$ 中 $q_1=2, q_{n+1}=2-\frac{1}{q_n}$, 在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中 $a_1=1, \frac{a_{2 n}}{a_{2 n-1}}=\frac{a_{2 n+1}}{a_{2 n}}=q_n$.
(1) 求证数列 $\left\{\frac{1}{q_n-1}\right\}$ 成等差数列并求 $q_n$;
(2) 求证: $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_{2 n-1}}+\frac{1}{a_{2 n}} < 3-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.

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答案：

解: (1) 证明: 由题意可得, $q_{n+1}=\frac{2 q_n-1}{q_n}$,
故 $\frac{1}{q_{n+1}-1}=\frac{1}{\frac{2 q_n-1}{q_n}-1}=\frac{q_n}{q_n-1}=1+\frac{1}{q_n-1}$,
即 $\frac{1}{q_{n+1}-1}-\frac{1}{q_n-1}=1$,
所以数列 $\left\{\frac{1}{q_n-1}\right\}$ 是以 1 为公差的等差数列,
所以 $\frac{1}{q_n-1}=\frac{1}{q_1-1}+(n-1) \times 1=n$,
所以 $q_n=\frac{n+1}{n}$;
(2) 证明: 由 $\frac{a_{2 n}}{a_{2 n-1}}=\frac{a_{2 n+1}}{a_{2 n}}=q_n$, 得 $\frac{a_{2 n+1}}{a_{2 n-1}}=q_n{ }^2=\left(\frac{n+1}{n}\right)^2$,
于是 $a_{2 n+1}=\frac{a_{2 n+1}}{a_{2 n-1}} \cdot \frac{a_{2 n-1}}{a_{2 n-3}} \cdots \cdot \frac{a_3}{a_1} \cdot a_1=\left(\frac{n+1}{n}\right)^2 \cdot\left(\frac{n}{n-1}\right)^2 \cdots \cdot\left(\frac{2}{1}\right)^2 \cdot 1=(n+1)^2$,
所
以
$a_{2 n}=\frac{a_{2 n+1}}{q_n}=n(n+1)$
所以 $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_{2 n-1}}+\frac{1}{a_{2 n}} < 3-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.

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