在数列 $\left\{q_n\right\}$ 中 $q_1=2, q_{n+1}=2-\frac{1}{q_n}$, 在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中 $a_1=1, \frac{a_{2 n}}{a_{2 n-1}}=\frac{a_{2 n+1}}{a_{2 n}}=q_n$.
(1) 求证数列 $\left\{\frac{1}{q_n-1}\right\}$ 成等差数列并求 $q_n$;
(2) 求证: $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_{2 n-1}}+\frac{1}{a_{2 n}} < 3-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.