设函数 $f(x)=x-x \ln x$. 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $0 < a_{1} < 1, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)$.
（I） 证明：函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1 ）$ 是增函数;
(II ) 证明: $a_{n} < a_{n+1} < 1$;
（III）设 $b \in\left(a_{1}, 1\right)$, 整数 $k \geqslant \frac{a_{1}-b}{a_{1} \ln b}$. 证明: $a_{k+1}>b$.