已知在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1+a_2=4$, 且 $a_1, a_2+2, a_3$ 成等差数列, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n>0, b_1=$ $1, b_{n+1}^2-b_n^2=2\left(b_{n+1}+b_n\right)$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $c_n=2^{b_n}-a_n$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.