湖北省重点高中智学联盟2022 年秋季高二年级期末联考-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$, 满足 $S_n=2 a_n-2\left(n \in \mathrm{N}^*\right)$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项积为 $n !$.
$$
(n !=1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n)
$$
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 令 $c_n=a_n b_n$, 求数列 $\left\{\frac{c_{n+2}}{c_n c_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和.

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答案：

(1) 由题意: $\because S_n=2 a_n-2,\left(n \in \mathrm{N}^*\right)$ (1),
当 $n=1$ 时, 可得 $a_1=2$,
当 $n \geq 2$ 时, $S_{n-1}=2 a_{n-1}-2\left(n \geq 2, n \in \mathrm{N}^*\right)$ (2),
由(1)-(2)得: $a_n=2 a_{n-1}\left(n \geq 2, n \in \mathrm{N}^*\right)$,
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由 $a_n$ 为正项数列, 得 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 2 , 公比为 2 的等比数列.
因此可得 $a_n=2 \cdot 2^{n-1}=2^n\left(n \in \mathrm{N}^*\right)$

(2) 由于数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项的乘积为 $n !$,
当 $n=1$ 时, 得 $b_1=1$;
当 $n \geq 2$ 时, 得 $b_n=\frac{n !}{(n-1) !}=n\left(n \geq 2, n \in \mathrm{N}^*\right)$;
$\because b_1=1$ 符合通项, 故得 $b_n=n\left(n \in \mathrm{N}^*\right)$.
由（1）可知: $c_n=a_n b_n=n \cdot 2^n$,
$$
\frac{c_{n+2}}{c_n \cdot c_{n+1}}=\frac{(n+2) \cdot 2^{n+2}}{n \cdot 2^n \cdot(n+1) \cdot 2^{n+1}}=4\left(\frac{1}{n \cdot 2^n}-\frac{1}{(n+1) 2^{n+1}}\right),
$$
令 $T_n$ 为 $\frac{c_{n+2}}{c_n \cdot c_{n+1}}$ 的前 $n$ 项和,
$$
T_n=4\left(\frac{1}{1 \cdot 2^1}-\frac{1}{2 \cdot 2^2}+\frac{1}{2 \cdot 2^2}-\frac{1}{3 \cdot 2^3}+\frac{1}{3 \cdot 2^3}-\frac{1}{4 \cdot 2^4}+\cdots+\frac{1}{n \cdot 2^n}-\frac{1}{(n+1) \cdot 2^{n+1}}\right)=2-\frac{1}{(n+1) \cdot 2^{n-1}} .
$$

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