题号:2232    题型:解答题    来源:2023 届 南昌市高三摸底测试卷 文科数学
类型:模拟考试
已知公差大于 0 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$, 且 $a_1, a_2, a_4$ 成等比数列.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式:
(2) 令 $b_n=2^{a_{2 n}}$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和.
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答案:
(1) 设公差为 $d$, 因为 $a_1, a_2, a_4$ 成等比数列, 则 $a_2{ }^2=a_1 a_4$, 即 $(1+d)^2=1 \times(1+3 d), d^2-d=0$, 解得 $d=1, d=0$ (舍),
所以 $a_n=a_1+(n-1) d=1+n-1=n$;
(2) $b_n=2^{a_{2 n}}=2^{2 n}=4^n, b_1=4,\left\{b_n\right\}$ 是以 4 为首项, 4 为公比的等比数列 $\cdots \cdots$
所以 $S_n=b_1+b_2+\cdots+b_n=\frac{4 \times\left(1-4^n\right)}{1-4}=\frac{4^{n+1}-4}{3}$.

解析:

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