已知数列 $\left\{\ln a_n\right\}$ 是等差数列, 记 $S_n$ 为 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, $\left\{S_n+a_1\right\}$ 是等比数列, $a_1=1$.
(1) 求 $a_n$;
(2) 记 $b_n=\log _2 a_{2 n-1}+\log _2 a_{2 n}$, 求数列 $\left\{(-1)^n \cdot b_n{ }^2\right\}$ 的前 10 项和.
【答案】 【解析】(1) 由题意得 $2 \ln a_2=\ln a_1+\ln a_3$,
$$
\therefore a_2{ }^2=a_1 \cdot a_3 \text {, }
$$
又 $\left\{S_n+a_1\right\}$ 是等比数列,
$$
\begin{aligned}
& \therefore\left(S_2+a_1\right)^2=\left(S_1+a_1\right) \cdot\left(S_3+a_1\right), \\
& \because a_1=1, \therefore\left\{\begin{array}{l}
a_2{ }^2=a_3, \\
\left(a_2+2\right)^2=2\left(2+a_2+a_3\right),
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
$\therefore a_2{ }^2-2 a_2=0$, 又 $a_n > 0$, 故 $a_2=2$,
又 $\left\{\ln a_n\right\}$ 是等差数列, 故 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列, 首项 $a_1=1$, 公比 $q=\frac{a_2}{a_1}=2$,
$\therefore\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=2^{n-1} . \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots 5$ 分
(2) $\because a_n=2^{n-1}$,
$\therefore b_n=\log _2 a_{2 n-1}+\log _2 a_{2 n}=\log _2 2^{2 n-1-1}+\log _2 2^{2 n-1}$ $=2 n-2+2 n-1=4 n-3$,
令 $C_n=(-1)^n \cdot b_n{ }^2$, 则 $C_{2 n-1}+C_{2 n}=-b_{2 n-1}{ }^2+b_{2 n}$ ${ }^2=\left(b_{2 n}+b_{2 n-1}\right)\left(b_{2 n}-b_{2 n-1}\right)=4\left(b_{2 n}+b_{2 n-1}\right)(n \in$
$\left.\mathbf{N}^*\right)$, 记 $\left\{C_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore T_{10}=\left(C_1+C_2\right)+\cdots+\left(C_9+C_{10}\right)=4\left(b_1+b_2+\right. \\
& \left.\cdots+b_{10}\right)=4 \times \frac{(1+37) \times 10}{2}=760,
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 数列 $\left\{(-1)^n \cdot b_n^2\right\}$ 的前 10 项和为 $760 . $


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