已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=-1$, 公差 $d>1$. 记 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$.
(1) 若 $S_4-2 a_2 a_3+6=0$, 求 $S_n$;
(2) 若对于每个 $n \in \mathbf{N}^*$, 存在实数 $c_n$, 使 $a_n+c_n, a_{n+1}+4 c_n, a_{n+2}+15 c_n$ 成等比数列, 求 $d$ 的取值范围.