题号:1545    题型:解答题    来源:广西省柳州市2023届新高三摸底考试(文科数学)
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=2 a_{n}+1$.
(1) 证明 $\left\{a_{n}+1\right\}$ 是等比数列, 并求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;
(2) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和公式.
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答案:
(1) 由 $a_{n+1}=2 a_{n}+1$ 可得 $a_{n+1}+1=2\left(a_{n}+1\right)$, 即 $\frac{a_{n+1}+1}{a_{n}+1}=2$
所以 $\left\{a_{n}+1\right\}$ 是一个以 2 为首项, 以 2 为公比的等比数列
所以 $a_{n}+1=2^{n}$, 所以 $a_{n}=2^{n}-1$
(2) $S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=\left(2^{1}-1\right)+\left(2^{2}-1\right)+\left(2^{3}-1\right)+\ldots\left(2^{n}-1\right)$
$$
\begin{aligned}
&=\left(2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots 2^{n}\right)-(1+1+1+\cdots+1)=\frac{2\left(1-2^{n}\right)}{1-2}-n \\
&=2^{n+1}-2-n
\end{aligned}
$$
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