题号:2324    题型:解答题    来源:邯郸市2023届高三年级摸底考试试卷(新高考)
类型:模拟考试
设 $S_n$ 是等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 且 $S_3=14, S_6=126$.
(1)求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 记 $b_n=(n-1) a_n$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 求 $T_n$.
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答案:
(1) 设等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比为 $q$, 显然 $q \neq 1$, 由 $S_3=14, S_6=126$,
得 $S_3=\frac{a_1\left(1-q^2\right)}{1-q}=14, S_6=\frac{a_1\left(1-q^6\right)}{1-q}=126$,
相除得 $1+q^3=9$, 得 $q=2$, 所以 $a_1=2$,
所以数列 $\left\{a_n\right\}$ 是以 2 为首项, 以 2 为公比的等比数列, 即 $a_n=2^*$;
(2) 由 (1) 可得 $b_n=(n-1) a_n=(n-1) 2^n$,
所以 $T_n=1 \times 2^2+2 \times 2^3+\cdots+(n-2) \times 2^{n-1}+(n-1) \times 2^n \cdots \cdots$ (1),
$\frac{1}{2} T_n=1 \times 2+2 \times 2^2+\cdots+(n-2) \times 2^{n-2}+(n-1) \times 2^{n-1} \cdots \cdots(2)$,
(2) $-$ (1), 得 $-\frac{1}{2} T_n=2+2^2+\cdots+2^{n-2}+2^{n-1}-(n-1) \times 2^n$,
得 $-\frac{1}{2} T_n=\frac{2\left(1-2^{n-1}\right)}{1-2}-(n-1) \times 2^n$,
所以 $T_n=4+(n-2) \times 2^{n+1}$.

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