记$S_n$为等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和，若 $a_1=\dfrac{1}{3}, a_4^2=a_6$,则 $S_5=$
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $S_{9}=81$, 则 $a_{2}+a_{5}+a_{8}=$ （ ）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}+(-1)^{n} a_{n}=2 n-1$, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 60 项和为
若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}=\frac{2}{3} a_{n}+\frac{1}{3}$, 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式是
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1, a_{n} \neq 0, a_{n} a_{n+1}=\lambda S_{n}-1$, 其中$\lambda$ 为常数.
(I ) 证明: $a_{n+2}-a_{n}=\lambda$
(II）是否存在 $\lambda$, 使得 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列? 并说明理由.
$(2 x+\sqrt{x})^{5}$ 的展开式中, $x^{3}$ 的系数是 （ ） (用数字填写答案)
设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{3}=10, a_{2}+a_{4}=5$, 则 $a_{1} a_{2} \ldots a_{n}$ 的最大值为
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且满足 $2 S_n=a_n^2+a_n$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $b_n=\frac{4}{a_n a_{n+2}}$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 证明: $T_n < 3$.
设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$, 且 $d>1$. 令 $b_n=\frac{n^2+n}{a_n}$, 记 $S_n, T_n$ 分别为数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$的前 $n$ 项和.
(1) 若 $3 a_2=3 a_1+a_3, S_3+T_3=21$, 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $\left\{b_n\right\}$ 为等差数列, 且 $S_{99}-T_{99}=99$, 求 $d$.
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$;
(1) 若 $a_2+a_4=a_3^2$, 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=\sqrt{a_{n+1}^2-2 a_n-3}, n \in \mathrm{N}^*$, 且 $\left\{b_n\right\}$ 是等差数列, 记 $T_n$ 是数列 $\left\{\frac{1}{a_n b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和. 对任意 $n \in \mathrm{N}^*$, 不等式 $4 T_n < \lambda$ 恒成立, 求整数 $\lambda$ 的最小值.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $S_n+4=2 a_n$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 求数列 $\left\{\frac{n+2}{n(n+1) a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, \sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+2}}=2 \sqrt{a_{n+1}}$, 且 $\frac{a_6-a_3}{\sqrt{a_8}+1}=6$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $a_n \geq k\left(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\cdots+\sqrt{a_n}\right)$ 恒成立, 求 $k$ 的最大值.
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=2, S_4=14$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=4, b_{n+1}=3 b_n-2$.
(1) 求 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设数列 $\left\{c_n\right\}$ 满足 $c_n=\left\{\begin{array}{cc}\frac{a_{n+1}}{a_n^2 \cdot a_{n+2}^2}, & n \text { 为奇数 } \\ \frac{1}{b_n}, & n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$, 若 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 证明: $T_{2 n} < \frac{3}{16}$.
已知 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 且 $a_1=1, n S_{n+1}=(n+1) S_n+n^2+n, n \in N^*$
(1) 证明: 数列 $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 为等差数列, 并求 $\left\{S_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $b_n=\frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}$, 设数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 求 $T_n$.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是公比大于 0 的等比数列, $a_1=4, a_3=64$. 数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足: $b_n=a_{2 n}+\frac{1}{a_n}$ $\left(n \in N^*\right)$.
(1) 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式:
(2) 证明: $\left\{b_n^2-b_{2 n}\right\}$ 是等比数列;
(3) 证明: $\sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{(2 k-1)(2 k+1)}{b_k^2-b_{2 k}}} < 2 \sqrt{2}$.
已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列, 公差 $d \neq 0,\left\{a_n\right\}$ 中的部分项 $a_{k_1}, a_{k_2}, \cdots \cdots, a_{k_n}$ 恰为等比数列, 且公比为 $q$,若 $k_1=1, k_2=6, k_3=16$
(I) 求 $q$;
(II) 求数列 $\left\{k_n\right\}$ 的通项公式及其前 $\mathrm{n}$ 项之和.
已知数列 $\left\{b_n\right\}$ 是等比数列, 公比不为 1 , 且 $b_1 \cdot b_2=b_3, 4 b_1-b_2=3$.
(1) 令 $d_n=\frac{b_{n+1}}{\left(b_n-1\right)\left(b_{n+1}-1\right)}$, 求证: $d_1+d_2+d_3+\cdots+d_n < \frac{3}{4}$;
(2) 记 $c_n=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{(2 n-1)(2 n+3)}, n=2 k-1, \\ (2 n-1) \cdot b_n, n=2 k,\end{array}\right.$ 其中 $k \in \mathbf{N}^*$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$.
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, 2 \sqrt{S_n}=a_n+1$; 数列 $\left\{b_n\right\}$ 是递增的等比数列, 公比为 $q$, 且 $b_2, b_4$ 的等差中项为 $10, b_1, b_5$ 的等比中项为 8 .
(1) 求 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $c_n=\left\{\begin{array}{l}-a_n, n \text { 为奇数, } \\ \frac{3}{b_n}, n \text { 为偶数, }\end{array} T_n\right.$ 为 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 若 $T_{2 n}+2 n^2-n+3 \geqslant \lambda b_n$ 能成立, 求实数 $\lambda$ 的最大值.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列, 公差 $d>0$, 等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足: $b_1=2 a_1=2, b_2=a_1+a_3$, $b_1 b_3=5 a_3+1$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若将数列 $\left\{a_n\right\}$ 中的所有项按原顺序依次插人数列 $\left\langle b_n\right\}$ 中, 组成一个新数列: $b_1, a_1, b_2$, $a_2, a_3, b_3, a_4, a_5, a_6, a_7, b_4, \cdots$, 在 $b_k$ 与 $b_{k+1}$ 之间插人 $2^{k-1}$ 项 $\left\{a_n\right\}$ 中的项, 新数列中 $b_{n+1}$ 之前 (不包括 $b_{n+1}$ ) 所有项的和记为 $T_n$, 若 $d_n=\frac{a_n^2}{a_{n+1}}\left(\frac{2^{n-1}}{T_n+2}+2\right)$, 求使得 $\left[d_1\right]+$ $\left[d_2\right]+\left[d_3\right]+\cdots+\left[d_n\right] \leqslant 2023$ 成立的最大正整数 $n$ 的值. (其中符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数)
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $S_5=45, S_6=60$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 求数列 $\left\{\frac{1}{a_n a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 当 $n \geq 2$ 时, $a_n=\left\{\begin{array}{c}a_{n-1}+1, n \text { 为奇数 } \\ 2 a_{n-1}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$. 且 $S_3=1$.
(1) 求 $a_1, a_2$;
(2)
(i) 当 $n$ 为偶数时, 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(ii) 求 $S_{2024}$.