数列30

数学

一、填空题（共 7 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 记

S_{n}

为等比数列

{a_{n}}

的前

n

项和，若

a_{1} = \frac{1}{3}, a_{4}^{2} = a_{6}

,则

S_{5} =

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2. 设等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 若

S_{9} = 81

, 则

a_{2} + a_{5} + a_{8} =

（　　）

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3. 数列

{a_{n}}

满足

a_{n + 1} + (- 1)^{n} a_{n} = 2 n - 1

, 则

{a_{n}}

的前 60 项和为

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4. 若数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n} = \frac{2}{3} a_{n} + \frac{1}{3}

, 则数列

{a_{n}}

的通项公式是

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5. 已知数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}, a_{1} = 1, a_{n} \neq 0, a_{n} a_{n + 1} = λ S_{n} - 1

, 其中

λ

为常数.

(I ) 证明:

a_{n + 2} - a_{n} = λ

(II）是否存在

λ

, 使得

{a_{n}}

为等差数列? 并说明理由.

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(2 x + \sqrt{x})^{5}

的展开式中,

x^{3}

的系数是（　　） (用数字填写答案)

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7. 设等比数列

{a_{n}}

满足

a_{1} + a_{3} = 10, a_{2} + a_{4} = 5

, 则

a_{1} a_{2} \dots a_{n}

的最大值为

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二、解答题（共 14 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

8. 已知正项数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 且满足

2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n}

.
(1) 求数列

{a_{n}}

的通项公式;
(2) 设

b_{n} = \frac{4}{a_{n} a_{n + 2}}

, 数列

{b_{n}}

的前

n

项和为

T_{n}

, 证明:

T_{n} < 3

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9. 设等差数列

{a_{n}}

的公差为

d

, 且

d > 1

. 令

b_{n} = \frac{n^{2} + n}{a_{n}}

, 记

S_{n}, T_{n}

分别为数列

{a_{n}}, {b_{n}}

的前

n

项和.
(1) 若

3 a_{2} = 3 a_{1} + a_{3}, S_{3} + T_{3} = 21

, 求

{a_{n}}

的通项公式;
(2) 若

{b_{n}}

为等差数列, 且

S_{99} - T_{99} = 99

, 求

d

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10. 已知等差数列

{a_{n}}

满足

a_{1} = 1

;
(1) 若

a_{2} + a_{4} = a_{3}^{2}

, 求数列

{a_{n}}

的通项公式;
(2) 若数列

{b_{n}}

满足

b_{n} = \sqrt{a_{n + 1}^{2} - 2 a_{n} - 3}, n \in N^{*}

, 且

{b_{n}}

是等差数列, 记

T_{n}

是数列

{\frac{1}{a_{n} b_{n}}}

的前

n

项和. 对任意

n \in N^{*}

, 不等式

4 T_{n} < λ

恒成立, 求整数

λ

的最小值.

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11. 已知数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 且

S_{n} + 4 = 2 a_{n}

.
(1) 求

{a_{n}}

的通项公式;
(2) 求数列

{\frac{n + 2}{n (n + 1) a_{n + 1}}}

的前

n

项和

T_{n}

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12. 已知数列

{a_{n}}

满足

a_{1} = 1, \sqrt{a_{n}} + \sqrt{a_{n + 2}} = 2 \sqrt{a_{n + 1}}

, 且

\frac{a_{6} - a_{3}}{\sqrt{a_{8}} + 1} = 6

.
(1) 求数列

{a_{n}}

的通项公式;
(2) 若

a_{n} \geq k (\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}} + \dots + \sqrt{a_{n}})

恒成立, 求

k

的最大值.

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13. 已知等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}, a_{1} = 2, S_{4} = 14

, 数列

{b_{n}}

满足

b_{1} = 4, b_{n + 1} = 3 b_{n} - 2

.
(1) 求

{b_{n}}

的通项公式;
(2) 设数列

{c_{n}}

满足

c_{n} = {\begin{array}{cc} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}^{2} \cdot a_{n + 2}^{2}}, & n 为奇数 \\ \frac{1}{b_{n}}, & n 为偶数 \end{array}

, 若

{c_{n}}

的前

n

项和为

T_{n}

, 证明:

T_{2 n} < \frac{3}{16}

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14. 已知

S_{n}

为数列

{a_{n}}

的前

n

项和, 且

a_{1} = 1, n S_{n + 1} = (n + 1) S_{n} + n^{2} + n, n \in N^{*}

(1) 证明: 数列

{\frac{S_{n}}{n}}

为等差数列, 并求

{S_{n}}

的通项公式;
(2) 若

b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}

, 设数列

{b_{n}}

的前

n

项和为

T_{n}

, 求

T_{n}

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15. 已知数列

{a_{n}}

是公比大于 0 的等比数列,

a_{1} = 4, a_{3} = 64

. 数列

{b_{n}}

满足:

b_{n} = a_{2 n} + \frac{1}{a_{n}}

(n \in N^{*})

.
(1) 求数列

{b_{n}}

的通项公式:
(2) 证明:

{b_{n}^{2} - b_{2 n}}

是等比数列;
(3) 证明:

\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{\frac{(2 k - 1) (2 k + 1)}{b_{k}^{2} - b_{2 k}}} < 2 \sqrt{2}

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16. 已知

{a_{n}}

为等差数列, 公差

d \neq 0, {a_{n}}

中的部分项

a_{k_{1}}, a_{k_{2}}, \dots \dots, a_{k_{n}}

恰为等比数列, 且公比为

q

,若

k_{1} = 1, k_{2} = 6, k_{3} = 16

(I) 求

q

;
(II) 求数列

{k_{n}}

的通项公式及其前

n

项之和.

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17. 已知数列

{b_{n}}

是等比数列, 公比不为 1 , 且

b_{1} \cdot b_{2} = b_{3}, 4 b_{1} - b_{2} = 3

.
(1) 令

d_{n} = \frac{b_{n + 1}}{(b_{n} - 1) (b_{n + 1} - 1)}

, 求证:

d_{1} + d_{2} + d_{3} + \dots + d_{n} < \frac{3}{4}

;
(2) 记

c_{n} = {\begin{cases} \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 3)}, n = 2 k - 1, \\ (2 n - 1) \cdot b_{n}, n = 2 k, \end{cases}

其中

k \in N^{*}

, 求数列

{c_{n}}

的前

2 n

项和

S_{2 n}

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18. 已知正项数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}, 2 \sqrt{S_{n}} = a_{n} + 1

; 数列

{b_{n}}

是递增的等比数列, 公比为

q

, 且

b_{2}, b_{4}

的等差中项为

10, b_{1}, b_{5}

的等比中项为 8 .
(1) 求

{a_{n}}, {b_{n}}

的通项公式;
(2) 设

c_{n} = {\begin{cases} - a_{n}, n 为奇数, \\ \frac{3}{b_{n}}, n 为偶数, \end{cases} T_{n}

为

{c_{n}}

的前

n

项和, 若

T_{2 n} + 2 n^{2} - n + 3 ⩾ λ b_{n}

能成立, 求实数

λ

的最大值.

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19. 已知数列

{a_{n}}

为等差数列, 公差

d > 0

, 等比数列

{b_{n}}

满足:

b_{1} = 2 a_{1} = 2, b_{2} = a_{1} + a_{3}

b_{1} b_{3} = 5 a_{3} + 1

.
(1) 求数列

{a_{n}}, {b_{n}}

的通项公式;
(2) 若将数列

{a_{n}}

中的所有项按原顺序依次插人数列

⟨ b_{n}}

中, 组成一个新数列:

b_{1}, a_{1}, b_{2}

a_{2}, a_{3}, b_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, b_{4}, \dots

, 在

b_{k}

与

b_{k + 1}

之间插人

2^{k - 1}

项

{a_{n}}

中的项, 新数列中

b_{n + 1}

之前 (不包括

b_{n + 1}

) 所有项的和记为

T_{n}

, 若

d_{n} = \frac{a_{n}^{2}}{a_{n + 1}} (\frac{2^{n - 1}}{T_{n} + 2} + 2)

, 求使得

[d_{1}] +

[d_{2}] + [d_{3}] + \dots + [d_{n}] ⩽ 2023

成立的最大正整数

n

的值. (其中符号

[x]

表示不超过

x

的最大整数)

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20. 已知等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 且

S_{5} = 45, S_{6} = 60

.
(1) 求

{a_{n}}

的通项公式;
(2) 求数列

{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}

的前

n

项和

T_{n}

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21. 记

S_{n}

为数列

{a_{n}}

的前

n

项和, 当

n \geq 2

时,

a_{n} = {\begin{matrix} a_{n - 1} + 1, n 为奇数 \\ 2 a_{n - 1}, n 为偶数 \end{matrix}

. 且

S_{3} = 1

.
(1) 求

a_{1}, a_{2}

;
(2)
(i) 当

n

为偶数时, 求

{a_{n}}

的通项公式;
(ii) 求

S_{2024}

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