题号:695    题型:填空题    来源:2014 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1, a_{n} \neq 0, a_{n} a_{n+1}=\lambda S_{n}-1$, 其中$\lambda$ 为常数.

(I ) 证明: $a_{n+2}-a_{n}=\lambda$
(II)是否存在 $\lambda$, 使得 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列? 并说明理由.
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答案:
(I ) 证明: $\because a_{n} a_{n+1}=\lambda S_{n}-1, a_{n+1} a_{n+2}=\lambda S_{n+1}-1$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore a_{n+1}\left(a_{n+2}-a_{n}\right)=\lambda a_{n+1} \\
&\because a_{n+1} \neq 0 \\
&\therefore a_{n+2}-a_{n}=\lambda .
\end{aligned}
$$
(II ) 解: 假设存在 $\lambda$, 使得 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, 设公差为 $d$.
则 $\lambda=a_{n+2}-a_{n}=\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)+\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=2 d$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore \mathrm{d}=\frac{\lambda}{2} . \\
&\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=1+\frac{\lambda(\mathrm{n}-1)}{2}, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=1+\frac{\lambda_{\mathrm{n}}}{2}, \\
&\therefore \lambda \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=1+\left[1+\frac{\lambda(\mathrm{n}-1)}{2}\right]\left[1+\frac{\lambda_{\mathrm{n}}}{2}\right]=\frac{\lambda^{2}}{4} \mathrm{n}^{2}+\left(\lambda-\frac{\lambda^{2}}{4}\right) \mathrm{n}+2-\frac{\lambda}{2},
\end{aligned}
$$
根据 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列的充要条件是 $\left\{\begin{array}{l}\lambda \neq 0 \\ 2-\frac{\lambda}{2}=0\end{array}\right.$, 解得 $\lambda=4$.
此时可得 $S_{n}=n^{2}, a_{n}=2 n-1$.
因此存在 $\lambda=4$, 使得 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列.
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