题号:645    题型:填空题    来源:2013 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}=\frac{2}{3} a_{n}+\frac{1}{3}$, 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式是
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答案:
$a_{n}=$ $(-2)^{n-1}$

解析:

解: 当 $n=1$ 时, $a_{1}=S_{1}=\frac{2}{3} a_{1}+\frac{1}{3}$, 解得 $a_{1}=1$
当 $n \geqslant 2$ 时, $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\left(\frac{2}{3} a_{n}+\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{2}{3} a_{n-1}+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3} a_{n}-\frac{2}{3} a_{n-1}$,
整理可得 $\frac{1}{3} a_{n}=-\frac{2}{3} a_{n-1}$, 即 $\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=-2$,
故数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 从第二项开始是以 $-2$ 为首项, $-2$ 为公比的等比数列,
故当 $n \geqslant 2$ 时, $a_{n}=(-2)^{n-1}$,

经验证当 n=1 时,上式也适合,
故答案为:$a_{n}=$ $(-2)^{n-1} .$
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