记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 当 $n \geq 2$ 时, $a_n=\left\{\begin{array}{c}a_{n-1}+1, n \text { 为奇数 } \\ 2 a_{n-1}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$. 且 $S_3=1$.
(1) 求 $a_1, a_2$;
(2)
(i) 当 $n$ 为偶数时, 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(ii) 求 $S_{2024}$.