已知 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 且 $a_1=1, n S_{n+1}=(n+1) S_n+n^2+n, n \in N^*$
(1) 证明: 数列 $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 为等差数列, 并求 $\left\{S_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $b_n=\frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}$, 设数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 求 $T_n$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$