已知数列 $\left\{a_n \right\}$ 满足 $$
a_{n+1} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
a_n+1, n \text { 为奇数时 } \\
a_n-2, n \text { 为偶数时 }
\end{array}\right.
$$, $a_1=1$

若数列 $\left\{b_n\right\}$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的奇数项组成的数列, $\left\{c_n\right\}$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的偶数项组成的数列, 求出 $c_1, c_2, c_3$, 并证明: 数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等差数列;
(2) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 22 项和.