题号:2816    题型:解答题    来源:百师联盟2022-2023学年高三上学期一轮复习联考(二)全国卷理科数学
已知数列 $\left\{a_n \right\}$ 满足 $$
a_{n+1} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
a_n+1, n \text { 为奇数时 } \\
a_n-2, n \text { 为偶数时 }
\end{array}\right.
$$, $a_1=1$

若数列 $\left\{b_n\right\}$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的奇数项组成的数列, $\left\{c_n\right\}$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的偶数项组成的数列, 求出 $c_1, c_2, c_3$, 并证明: 数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等差数列;
(2) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 22 项和.
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答案:
$(1) c_1=a_2=a_1+1=2, c_2=a_4=a_3+1=a_2-2+1=1, c_3=a_6=a_5+1=a_4-2+1=0$, 由題意知, $b_{n+1}=a_{2 n+1}=a_{2 n}-2=a_{2 n-1}+1-2=a_{2 n-1}-1=b_n-1$, 所以数列 $\left\{b_n\right\}$ 是首项为 1 , 公差为 $-1$ 的等差数列. (2) $c_{n+1}=a_{2 n+2}=a_{2 n+1}+1=a_{2 n}-2+1=a_{2 n}-1=c_n-1$, 所以数列 $\left\{c_n\right\}$ 是首项为 2 , 公差为 $-1$ 的等差数列, 结合 (1) 可知, $\left\{a_n\right\}$ 的奇数项和偶数项都是以 $-1$ 为公差的等差数列,
所以 $S_{22}=a_1+a_2+\cdots+a_{22}=\left(a_1+a_3+\cdots+a_{21}\right)+\left(a_2+a_4+\cdots+a_{22}\right)$
$$
\begin{aligned}
&=\left(b_1+b_2+\cdots+b_{11}\right)+\left(c_1+c_2+\cdots+c_{11}\right) \\
&=1 \times 11+\frac{11 \times 10}{2} \times(-1)+2 \times 11+\frac{11 \times 10}{2} \times(-1)=-77
\end{aligned}
$$
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