一、单选题 （共 39 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 点 $P$ 为第一象限内双 曲线上的点, 点 $Q$ 为点 $P$ 关于原点 $O$ 的对称点. 若 $|O P|=\left|O F_2\right|, 2\left|Q F_1\right| \leqslant\left|P F_1\right| \leqslant$ $3\left|Q F_1\right|$, 则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为
$\text{A.}$ $\left(1, \frac{\sqrt{10}}{2}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{\sqrt{10}}{2}, \sqrt{5}\right]$
$\text{C.}$ $(1, \sqrt{5}]$
$\text{D.}$ $[2, \sqrt{5}]$
与双曲线 $y^2-\frac{x^2}{4}=1$ 有相同的焦点, 且短半轴长为 $2 \sqrt{5}$ 的椭圆方程是
$\text{A.}$ $\frac{y^2}{45}+\frac{x^2}{20}=1$
$\text{B.}$ $\frac{y^2}{85}+\frac{x^2}{80}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{20}=1$
$\text{D.}$ $\frac{y^2}{25}+\frac{x^2}{20}=1$
已知点 $F$ 为抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点, 过点 $F$ 且倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点, 若 $|F A| \cdot|F B|=3$, 则 $p=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $1$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $2$
若 $M, N$ 为圆 $C:(x-2)^2+(y-2)^2=1$ 上任意两点, $P$ 为直线 $3 x+4 y-4=0$ 上一个动点, 则 $\angle M P N$ 的最大值是
$\text{A.}$ $45^{\circ}$
$\text{B.}$ $60^{\circ}$
$\text{C.}$ $90^{\circ}$
$\text{D.}$ $120^{\circ}$
在平面直角坐标系中, 定义 $|x|+|y|$ 称为点 $P(x, y)$ 的 “ $\delta$ 和”, 其中 $O$ 为坐标原点, 对
于下列结论: (1) “ $\delta$ 和” 为 1 的点 $P(x, y)$ 的轨迹围成的图形面积为 2 ; (2) 设 $P$ 是直
线 $2 x-y-4=0$ 上任意一点, 则点 $P(x, y)$ 的 “ $\delta$ 和” 的最小值为 2 ; （3）设 $P$ 是直线
$a x-y+b=0$ 上任意一点, 则使得 “ $\delta$ 和” 最小的点有无数个” 的充要条件是 $a=1$;
设 $P$ 是椭圆 $x^2+\frac{y^2}{2}=1$ 上任意一点, 则 “ $\delta$ 和”的最大值为 $\sqrt{3}$. 其中正确的结论序号为
$\text{A.}$ (1) (2) (3)
$\text{B.}$ (1) (2) (4)
$\text{C.}$ (1) (3) (4)
$\text{D.}$ (2) (3)(4)
已知焦点在坐标轴上且中心在原点的双曲线的一条渐近线方程为 $2 y=x$, 若该双曲线过点 $(1,1)$, 则它的方程为
$\text{A.}$ $4 y^2-x^2=3$
$\text{B.}$ $4 x^2-y^2=3$
$\text{C.}$ $2 y^2-x^2=1$
$\text{D.}$ $2 x^2-y^2=1$
已知直线 $(m+2) x+(m-1) y-2 m-1=0(m \in \mathbf{R})$ 与圆 $C: x^2-4 x+y^2=0$, 则下列说法错误的是
$\text{A.}$ 对 $\forall m \in \mathbf{R}$, 直线恒过一定点
$\text{B.}$ $\exists m \in \mathbf{R}$, 使直线与圆相切
$\text{C.}$ 对 $\forall m \in \mathbf{R}$, 直线与圆一定相交
$\text{D.}$ 直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为 $2 \sqrt{2}$
已知直线 $l$ 与曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 相切, 切点为 $P$, 直线 $l$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A, B$, $O$为坐标原点. 若 $\triangle O A B$ 的面积为 $\frac{1}{\mathrm{e}}$, 则点 $P$ 的个数是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知双曲线 $C: x^2-\frac{y^2}{8}=1$, 其一条渐近线被圆 $(x-\sqrt{3})^2+y^2=3$ 截得弦长为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $1$
$\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $2$
已知点 $A, B, C$ 为椭圆 $D$ 的三个顶点，若 $\triangle A B C$ 是正三角形，则 $D$ 的离心率是
$\text{A.}$ $\cdot \frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\cdot \frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的半焦距为 $c$, 若 $a-c=4, b=6$, 则 $C$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{5}{12}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{13}$
$\text{D.}$ $\frac{12}{13}$
已知抛物线 $C: x^2=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$, 点 $C A(4,2)$ 在抛物线 $C$ 上, 则 $|A F|=$
$\text{A.}$ $4$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{C.}$ $8$
$\text{D.}$ $4 \sqrt{5}$
如图, 圆 $O$ 半径为 1 , 圆外一点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为 2 , 过 $P$ 引圆 $O$ 的两条切线, 切 点分别记为 $A 、 B, M$ 为圆 $O$ 上的一个动点, 则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P M}$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\sqrt{3}-1$
$\text{B.}$ $3-\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$, 点 $F$ 是 $C$ 的右焦点, 若点 $P$ 为 $C$ 左支上的动点, 设点 $P$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 $d$, 则 $d+|P F|$ 的最小值为
$\text{A.}$ $2+4 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ $6 \cdot \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $8$
$\text{D.}$ $10$
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2, P$ 是双曲线 $C$ 的一条渐近线上的点, 且线段 $P F_1$ 的中点 $M$ 在另一条渐近线上. 若 $\angle P F_2 F_1=45^{\circ}$, 则双曲线 $C$ 的 离心率为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $2$
$\text{D.}$ $\sqrt{5}$
已知抛物线 $E: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$, 准线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $H$, 过点 $H$ 的直线与抛物线交于 $A, B$ 两点, 且 $\overrightarrow{H A}=3 \overrightarrow{H B}$, 则 $|\overrightarrow{F A}|=$
$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $4$
$\text{C.}$ $4 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $8$
若圆 $(x-a)^2+(y-3)^2=20$ 上有四个点到直线 $2 x-y+1=0$ 的距离为 $\sqrt{5}$, 则实数 $a$ 的取值范 围是
$\text{A.}$ $\left(-\infty,-\frac{13}{2}\right) \cup\left(\frac{17}{2},+\infty\right)$
$\text{B.}$ $\left(-\frac{13}{2}, \frac{17}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right) \cup\left(\frac{7}{2},+\infty\right)$
$\text{D.}$ $\left(-\frac{3}{2}, \frac{7}{2}\right)$
已知圆 $C:(x-5)^2+(y-12)^2=1$ 和两点 $A(0,-m), B(0, m)(m>0)$, 若圆 $C$ 上存在点 $P$, 使得 $\angle A P B=90^{\circ}$, 则 $m$ 的最小值为
$\text{A.}$ 14
$\text{B.}$ 13
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 11
已知 $\odot O, x^2+y^2=4, \odot C$ 与一条坐标轴相切, 圆心在直线 $x-y+7=0$ 上. 若 $\odot C$ 与 $\odot O$ 相切, 则满足条件的 $\odot C$ 有
$\text{A.}$ 1 个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3 个
$\text{D.}$ 4 个
已知动圆过定点 $M(0,4)$, 且在 $x$ 轴上截得的弦 $A B$ 的长为 8 . 过此动圆圆心轨迹 $C$ 上一个定点 $P(m, 2)$ 引它的两条弦 $P S, P T$, 若直线 $P S, P T$ 的倾斜角互为补角, 记直线 $S T$ 的斜率为 $k$, 则 $m k= $
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ -4
$\text{D.}$ -2
设抛物线 $y^2=6 x$ 的焦点为 $F$, 准线为 $l, P$ 是抛物线上位于第一象限内的一点, 过 $P$ 作 $l$ 的垂线, 垂足为 $Q$, 若直线 $Q F$ 的倾斜角为 $120^{\circ}$, 则 $|P F|=$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 12
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$, 左、右焦点分别为 $F_1, F_2, F_2$ 关于 $C$ 的一条 渐近线的对称点为 $P$. 若 $\left|P F_1\right|=2$, 则 $\triangle P F_1 F_2$ 的面积为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\sqrt{5}$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
若直线 $a x-b y+2=0(a>0, b>0)$ 被圆 $x^2+y^2+2 x-4 y+1=0$ 截得的弦长为 4 , 则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 的最小值 为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}+\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}+2 \sqrt{2}$
若点 $P$ 是曲线 $y=x^2-\ln x$ 上任意一点, 则点 $P$ 到直线 $y=x-2$ 的最小距离为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
已知 $O$ 是坐标原点, $F$ 是双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点, 平面内一点 $M$ 满足 $\triangle O M F$ 是等边 三角形, 线段 $M F$ 与双曲线 $E$ 交于点 $N$, 且 $|M N|=|N F|$, 则双曲线 $E$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{13}+1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{13}-1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{15}+2}{7}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{15}+1}{7}$
已知直线 $l_1: x+m y-3 m-1=0$ 与 $l_2: m x-y-3 m+1=0$ 相交于点 $M$, 线段 $A B$ 是圆 $C:(x+1)^2+$ $(y+1)^2=4$ 的一条动弦, 且 $|A B|=2 \sqrt{3}$, 则 $\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}$ 的最小值为
$\text{A.}$ $6-4 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $3-\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $5+\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{5}-1$
过椭圆 $C: \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 上的点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 分别作 $C$ 的切线, 若两切线的交点恰好在 直线 $l: x=4$ 上, 则 $y_1 \cdot y_2$ 的最小值为
$\text{A.}$ $-\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{9}{4}$
$\text{C.}$ $-9$
$\text{D.}$ $\frac{9}{4}$
如图, 粗圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F_1$, 右顶点为 $A$, 点 $Q$ 在 $y$ 轴上, 点 $P$ 在椭圆上, 且满 足 $P Q \perp y$ 轴, 四边形 $F_1 A P Q$ 是等腰梯形, 直线 $F_1 P$ 与 $y$ 轴交于点 $N\left(0, \frac{\sqrt{3}}{4} b\right)$, 则椭圆的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
已知直线 $l$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(b>a>0)$ 两支分别交于点P, $\mathrm{Q}$ 两点, $\mathrm{O}$ 为原点. 若 $O P \perp O Q$, 则 $O$ 到直线 $l$ 的距离为
$\text{A.}$ $\frac{a b}{b-a}$
$\text{B.}$ $\frac{2 a b}{b-a}$
$\text{C.}$ $\frac{a b}{\sqrt{b^2-a^2}}$
$\text{D.}$ 其它三个选项均不对
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 点 $M, N$ 在双曲线 $C$ 上, $P(-a, 0)$. 若 $\triangle P M N$ 为等边三角形, 且 $\left|P F_2\right|=\left|F_2 M\right|=\left|F_2 N\right|$, 则双曲线 $C$ 的浙近线方程为
$\text{A.}$ $y= \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3} x$
$\text{B.}$ $y= \pm \frac{\sqrt{5}}{3} x$
$\text{C.}$ $y= \pm x$
$\text{D.}$ $y= \pm \frac{\sqrt{7}}{3} x$
抛物线 $y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点到直线 $y=x+1$ 的距离为 $\sqrt{2}$, 则 $p=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ 4
已知 $F_1$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点, 点 $P$ 在双曲线上, 直线 $P F_1$ 与 $x$ 轴垂直, 且 $\left|P F_1\right|=a$, 那么双曲线的离心率是
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知 $O$ 是坐标原点, $F$ 是双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点, 平面内一点 $M$ 满足 $\triangle O M F$ 是等边三角 形, 线段 $M F$ 与双曲线 $E$ 交于点 $N$, 且 $|M N|=|N F|$, 则双曲线 $E$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{13}+1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{13}-1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{15}+2}{7}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{15}+1}{7}$
已知直线 $l_1: x+m y-3 m-1=0$ 与 $l_2: m x-y-3 m+1=0$ 相交于点 $M$, 线段 $A B$ 是圆 $C:(x+1)^2+$ $(y+1)^2=4$ 的一条动弦, 且 $|A B|=2 \sqrt{3}$, 则 $\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}$ 的最小值为
$\text{A.}$ $6-4 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $3-\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $5+\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{5}-1$
已知双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 点 $P\left(3, \frac{5}{2}\right)$, 则 $\angle F_1 P F_2$ 的平分线的方程为
$\text{A.}$ $3 x-2 y-4=0$
$\text{B.}$ $3 x-4 y+4=0$
$\text{C.}$ $4 x-6 y+3=0$
$\text{D.}$ $2 x-6 y+9=0$
若不等式 $\sqrt{16-x^2} \leq k x(k>0)$ 的解集为区间 $[a, b]$, 且 $b-a=2$,则 $k=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ 2
已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的上顶点为 $B$, 右焦点为 $F$, 延长 $B F$ 交椭圆 $E$ 于点 $C$, $A H=\lambda F C(\lambda>1)$, 则椭圆 $E$ 的离心率 $e= $
$\text{A.}$ $\sqrt{\frac{\lambda-1}{\lambda+1}}$
$\text{B.}$ $\frac{\lambda-1}{\lambda+1}$
$\text{C.}$ $\sqrt{\frac{\lambda^2-1}{\lambda^2+1}}$
$\text{D.}$ $\frac{\lambda^2-1}{\lambda^2+1}$
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{3}+y^2=1$ 的左、右焦点分别为 $\mathrm{F} 1, \mathrm{~F} 2$, 直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}+\mathrm{m}$ 与 $\mathrm{C}$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点,若 $\triangle \mathrm{F} 1 \mathrm{AB}$ 面积是 $\triangle \mathrm{F} 2 \mathrm{AB}$ 面积的 2 倍, 则 $m=$
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\text{C.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\text{D.}$ $-\frac{2}{3}$
设 $O$ 为坐标原点, 直线 $y=-\sqrt{3}(x-1)$ 过抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦 点, 且与 $C$ 交于 $M, N$ 两点, $l$ 为 $C$ 的准线, 则
$\text{A.}$ $p=2$
$\text{B.}$ $|M N|=\frac{8}{3}$
$\text{C.}$ 以 $M N$ 为直径的圆与 $l$ 相切
$\text{D.}$ $\triangle O M N$ 为等腰三角形