湖北省重点高中智学联盟2022 年秋季高二年级期末联考-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知点 $F$ 为抛物线 $C: y^2=2 p x(p > 0)$ 的焦点, 过点 $F$ 且倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点, 若 $|F A| \cdot|F B|=3$, 则 $p=$

$ \text{A.}$ $\frac{1}{2}$ $ \text{B.}$ $1$ $ \text{C.}$ $\frac{3}{2}$ $ \text{D.}$ $2$

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答案：

解析：

由题意知 $F\left(\frac{p}{2}, 0\right), A B$ 的方程为 $y=\sqrt{3}\left(x-\frac{p}{2}\right)$, 代入 $C$ 的方程, 得 $3 x^2-5 p x+\frac{3 p^2}{4}=0$, 设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 则 $x_1+x_2=\frac{5 p}{3}, x_1 x_2=\frac{p^2}{4}$;
因为 $|F A|=\frac{p}{2}+x_1,|F B|=\frac{p}{2}+x_2$, 且 $|F A| \cdot|F B|=3$,
所以 $\left(\frac{p}{2}+x_1\right)\left(\frac{p}{2}+x_2\right)=3$, 整理得 $\frac{p^2}{4}+\frac{p}{2}\left(x_1+x_2\right)+x_1 x_2=3$,
所以 $\frac{p^2}{4}+\frac{p}{2} \cdot \frac{5 p}{3}+\frac{p^2}{4}=3$, 结合 $p > 0$, 解得 $p=\frac{3}{2}$.
故选: C

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