2023年安徽省皖江名校联盟高考数学第五次摸底联考试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知 $\odot O, x^2+y^2=4, \odot C$ 与一条坐标轴相切, 圆心在直线 $x-y+7=0$ 上. 若 $\odot C$ 与 $\odot O$ 相切, 则满足条件的 $\odot C$ 有

$ \text{A.}$ 1 个 $ \text{B.}$ 2个 $ \text{C.}$ 3 个 $ \text{D.}$ 4 个

答案：

解析：

解: 当 $\odot C$ 与 $x$ 轴相切时, 设圆心 $C(a, a+7)$, 半径 $r=|a+7|$, 故 $\sqrt{a^2+(a+7)^2}=2+|a+7|$, 即 $a^2-4=4|a+7|$, 解得 $a=-4$ 或 $a=8$, 所以 $\odot C$ 方程为 $(x+4)^2+(y-3)^2=9$ 或 $(x-8)^2+(y-15)^2=225$, 当 $\odot C$ 与 $y$ 轴相切时, 设圆心 $C(a, a+7)$, 半径 $r=|a|$, 故 $\sqrt{a^2+(a+7)^2}=2+|a|$, 即 $(a+7)^2=4+4|a|$, 解得 $a=-3$ 或 $a=-15$, 所以 $\odot$ 方程为 $(x+3)^2+(y-4)^2=9$ 或 $(x+15)^2+(y+8)^2=225$, 则满足条件的 $\odot C$ 有 4 个. 故选: $D$.

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