湖北省重点高中智学联盟2022 年秋季高二年级期末联考-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 的左, 右焦点分别是 $F_1, F_2$, 其中 $\left|F_1 F_2\right|=2 c$. 直线 1 过左焦点 $F_1$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点，则下列说法中正确的有

$ \text{A.}$ 若存在 $\triangle A B F_2$, 则 $\triangle A B F_2$ 的周长为 $4 a$ $ \text{B.}$ 若 $A B$ 的中点为 $M$, 则 $k_{O M} \cdot k=\frac{b^2}{a^2}$ $ \text{C.}$ 若 $\overrightarrow{A F_1} \cdot \overrightarrow{A F_2}=3 c^2$, 则椭圆的离心率的取值范围是 $\left[\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{1}{2} \mid\right.$ $ \text{D.}$ 若 $|A B|$ 的最小值为 $3 c$, 则椭圆的离心率 $e=\frac{1}{3}$

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答案：

解析：

【详解】对 $\mathrm{A}$, 根据椭圆的定义 $\triangle A B F_2$ 的周长为 $\left|A F_1\right|+\left|B F_1\right|+\left|A F_2\right|+\left|B F_2\right|=4 a$, 故 $\mathrm{A}$ 正确;
对 B, 设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 则 $M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$, 所以 $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}, k_{O M}=\frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}$, 由 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1 \\ \frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1\end{array} \Rightarrow \frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}+\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0 \Rightarrow \frac{\left(y_1+y_2\right)\left(y_1-y_2\right)}{\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)}=-\frac{b^2}{a^2}\right.$, 即 $k_{O M} \cdot k=-\frac{b^2}{a^2}$, 故 B 错误;
对 C, $\overrightarrow{A F_1} \cdot \overrightarrow{A F_2}=\left(-c-x_1,-y_1\right)\left(c-x_1,-y_1\right)=x_1^2+y_1^2-c^2$, 根据 $y_1^2=b^2\left(1-\frac{x_1^2}{a^2}\right)$ $\overrightarrow{A F_1} \cdot \overrightarrow{A F_2}=\frac{c^2}{a^2} x_1^2+a^2-2 c^2 \in\left[a^2-2 c^2, a^2-c^2\right]$, 则 $a^2-2 c^2 \leq 3 c^2 \leq a^2-c^2 \Rightarrow e=\frac{c}{a} \in\left[\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{1}{2} \mid\right.$, 故 C 正确;
对 $\mathrm{D}$, 容易知道, $A B$ 的最小值为通径长度 $\frac{2 b^2}{a}$, 所以 $\frac{2 b^2}{a}=3 c$, 整理为 $2 b^2=3 a c \Rightarrow 2\left(a^2-c^2\right)=3 a c$, 即 $2 c^2+3 a c-2 a^2=0$, 两边同时除以 $a^2$, 得 $2 e^2+3 e-2=0$, 解得: $e=\frac{1}{2}$, 或 $e=-2$ (舍), 所以椭圆的离心率 $e=\frac{1}{2}$, 故 D 错误.
故选: AC.

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