已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左, 右焦点分别是 $F_1, F_2$, 其中 $\left|F_1 F_2\right|=2 c$. 直线 1 过左焦点 $F_1$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点，则下列说法中正确的有
A. 若存在 $\triangle A B F_2$, 则 $\triangle A B F_2$ 的周长为 $4 a$
B. 若 $A B$ 的中点为 $M$, 则 $k_{O M} \cdot k=\frac{b^2}{a^2}$
C. 若 $\overrightarrow{A F_1} \cdot \overrightarrow{A F_2}=3 c^2$, 则椭圆的离心率的取值范围是 $\left[\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{1}{2} \mid\right.$
D. 若 $|A B|$ 的最小值为 $3 c$, 则椭圆的离心率 $e=\frac{1}{3}$