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试卷6

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 记

S_{n}

为等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和. 已知

S_{4} = 0, a_{5} = 5

则（　　）

A.

a_{n} = 2 n - 5

B.

a_{n} = 3 n - 10

C.

S_{n} = 2 n^{2} - 8 n

D.

S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} - 2 n

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2. 已知等差数列

{a_{n}}

满足

a_{2} + a_{4} = 4, a_{3} + a_{5} = 10

, 则它的前 10 项的和

S_{10} =

（　　）

A.

138

B.

135

C.

D.

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3. 已知

{a_{n}}

为等比数列,

a_{4} + a_{7} = 2, a_{5} a_{6} = - 8

, 则

a_{1} + a_{10} =

（　　）

A.

B.

C.

- 5

D.

- 7

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4. 设等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 若

S_{m - 1} = - 2, S_{m} = 0, S_{m + 1} = 3

, 则

m =

（　　）

A.

B.

C.

D.

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5. 设

△ A_{n} B_{n} C_{n}

的三边长分别为

a_{n}, b_{n}, c_{n}, △ A_{n} B_{n} C_{n}

的面积为

S_{n}, n = 1

, 2, 3...若

b_{1} > c_{1}, b_{1} + c_{1} = 2 a_{1}, a_{n + 1} = a_{n}, b_{n + 1} = \frac{c_{n} + a_{n}}{2}, c_{n + 1} = \frac{b_{n} + a_{n}}{2}

, 则 ( )

A.

{S_{n}}

为递减数列

B.

{S_{n}}

为递增数列

C.

{S_{2 n - 1}}

为递增数列,

{S_{2 n}}

为递减数列

D.

{S_{2 n - 1}}

为递减数列,

{S_{2 n}}

为递增数列

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6. 记

S_{n}

为等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和. 若

a_{4} + a_{5} = 24, S_{6} = 48

, 则

{a_{n}}

的公差为 ( )

A.

B.

C.

D.

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7. 几位大学生响应国家的创业号召, 开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣, 他们推出了 “解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1, 1, 2, 1，2，4，1，2，4,

8, 1, 2, 4, 8, 16, \dots

, 其中第一项是

2^{0}

, 接下来的两项是

2^{0}, 2^{1}

, 再接下来的三项是

2^{0}, 2^{1}, 2^{2}

, 依此类推. 求满足如下条件的最小整数

N : N > 100

且该数列的前

N

项和为 2 的整数幂. 那么该款软件的激活码是（）

A.

440

B.

330

C.

220

D.

110

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8. 记

S_{n}

为等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和. 若

3 S_{3} = S_{2} + S_{4}, a_{1} = 2

, 则

a_{5} =

A.

- 12

B.

- 10

C.

D.

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9. 在数列

{a_{n}}

中,

a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + \ln (1 + \frac{1}{n})

, 则

a_{n} =

A.

2 + \ln n

B.

2 + (n - 1) \ln n

C.

2 + n \ln n

D.

1 + n + \ln n

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10. 在等差数列

{a_{n}}

中,

a_{1} = 1, a_{8} + a_{10} = 10

, 则

a_{5} = (

)

A.

B.

C.

D.

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11. 设

a, b \in R

, 数列

{a_{n}}

中

a_{n} = a, a_{n + 1} = a_{n}^{2} + b, b \in N^{*}

, 则

A.

当

b =, a_{10} > 10

B.

当

b =, a_{10} > 10

C.

当

b = - 2, a_{10} > 10

D.

当

b = - 4, a_{10} > 10

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12. 已知等差数列

{a_{n}}

的通项公式为

a_{n} = 3 - 2 n

, 则它的公差为

A.

- 2

B.

- 3

C.

2

D.

3

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13. 设

S_{n}

是等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和, 已知

a_{2} = 3, a_{6} = 11

, 则

S_{7}

等于

A.

B.

C.

D.

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14. 在各项都为正数的等比数列

{a_{n}}

中, 首项

a_{1} = 3

, 前三项和为 21 , 则

a_{3} + a_{4} + a_{5} =

A.

B.

C.

D.

189

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15. 若数列

{a_{n}}

满足:

a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}

且

a_{1} = 2

, 则

a_{2010} =

A.

- 1

B.

1

C.

2

D.

\frac{1}{2}

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16. 等差数列

{a_{n}}

和

{b_{n}}

的前

n

项和分别为

S_{n}

与

T_{n}

, 对一切自然数

n

, 都有

\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n}{3 n + 1}

, 则

\frac{a_{5}}{b_{5}}

等于

A.

\frac{2}{3}

B.

\frac{9}{14}

C.

\frac{20}{31}

D.

\frac{11}{17}

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17. 已知数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 满足

a_{1} = 1, a_{2} = 3, 2 \sqrt{S_{n}} = \sqrt{S_{n + 1}} + \sqrt{S_{n - 1}} (n \geq 2)

,
则

a_{2022} =

A.

4043

B.

4042

C.

4041

D.

4040

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18. 已知等比数列

{a_{n}}

的各项均为正数, 且

a_{1} a_{2} a_{3} = 27, a_{4} - a_{2} = - \frac{8}{3}

, 则

a_{1} a_{2} \dots a_{n}

的最大值为

A.

B.

C.

D.

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19. 已知等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 且

a_{3} + a_{5} = - 10, S_{6} = - 42

, 则

S_{10} =

A.

B.

C.

D.

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20. 已知

{a_{n}}

为等差数列,

S_{n}

为其前

n

项和, 则下列结论一定成立的是

A.

若

a_{1} = a_{5}

, 则

a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}

B.

若

a_{5} > a_{3}

, 则

S_{1} < S_{2} < \dots < S_{n}

C.

若

a_{3} = 2

, 则

a_{1}^{2} + a_{5}^{2} ⩾ 8

D.

若

a_{4} = 8, a_{8} = 4

, 则

S_{12} = 66

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21. 已知等比数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 若

S_{3} = 4, S_{6} = 12

, 则

S_{12} =

A.

B.

C.

D.

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22. 已知数列

{a_{n}}

满足

a_{n} \cdot (- 1)^{n} + a_{n + 2} = 2 n - 1, S_{20} = 650

, 则

a_{23} =

A.

231

B.

234

C.

279

D.

276

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23. 设等比数列

{a_{n}}

满足

a_{1} + a_{3} = 20, a_{2} + a_{4} = 10

, 则使

a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \dots a_{n}

最大的

n

为

A.

B.

C.

4 或 5

D.

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24. 已知数列

{a_{n}}, {b_{n}}

均为公差不为 0 的等差数列, 且满足

a_{3} = b_{2}, a_{6} = b_{4}

, 则

\frac{a_{4} - a_{1}}{b_{3} - b_{2}} = ()

A.

B.

C.

\frac{3}{2}

D.

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25. 记

S_{n}

为各项均为正数的等比数列

{a_{n}}

的前

n

项和,

S_{3} = \frac{7}{8}, a_{3} = \frac{1}{2}

, 则

a_{5} =

( )

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{1}{8}

C.

D.

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26. 《天才引导的过程一一数学中的伟大定理》的作者威廉 - 邓纳姆曾写道: “如果你想要做加法你需要 0 , 如果你想要做乘法你需要 1 , 如果你想要做微积分你需要

e

, 如果你想要做几何你需要

π

, 如果你想要做复分析你需要

i

, 这是数学的梦之队, 他们都在这个方程里.” 这里指的方程就是:

e^{x + i y} = e^{x} (\cos y + i \sin y)

, 令

x = 0, y = π

, 则

e^{i π} = - 1

, 令

x = 0, y = n π

, 则

e^{i n π} = \cos n π + i \sin n π

, 若数列

{a_{n}}

满足

a_{n} = e^{i n π}, S_{n}

为数列

{a_{n}}

的前

n

项和, 则下列结论正确的个数是（）
①

{a_{n}}

是等比数列
②

a_{2 n} = a_{n}^{2}

③

S_{21} = 1

④

a_{n + 2} = a_{n}

A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

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27. 在公比为正数的等比数列

{a_{n}}

中,

a_{2} + a_{4} = 30 ， a_{4} + a_{6} = \frac{15}{2}

, 则

a_{1}

的值为

A.

B.

C.

D.

E.

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28. 等差数列

a_{n}

的各项均为正数，首项与公差相等，

\sum_{k = 1}^{15} \frac{1}{\sqrt{a_{k}} + \sqrt{n_{k + 1}}} = 2

，则

a_{4}

的值

A.

B.

C.

D.

E.

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29. 在各项均为正整数，且满足下列条件的数量

a_{n}

中，

a_{9}

可能的最大值和最小值分别是

M

和

m

, 则

M + m

的值为
①

a_{7} = 40

② 对于任意正整数

n

a_{n + 2} = {\begin{cases} a_{n + 1} + a_{n} & (a_{n + 1} 不是3的倍数) \\ \frac{1}{3} a_{n + 1} & (a_{n + 1} 是3的倍数) \end{cases}

A.

216

B.

218

C.

220

D.

222

E.

224

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30. 已知等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 且

a_{n} > 0

, 则

\frac{S_{6} - S_{3}}{a_{2} + a_{8}} =

A.

B.

\frac{3}{2}

C.

D.

\frac{1}{2}

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31. 已知实数

a > 0, b < 0

, 则

\frac{\sqrt{3} b - a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

的取值范围是

A.

[- 2, - 1)

B.

(- 2, - 1)

C.

(- 2 . - 1]

D.

[- 2, - 1]

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32. 已知函数

f (x) = \ln \frac{m + x}{1 - n - x} (m > 0, n > 0)

是奇函数, 则

\frac{1}{m} + \frac{2}{n}

的最小值为

A.

B.

C.

3 + 2 \sqrt{2}

D.

3 + 4 \sqrt{2}

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33. 若集合

{y ∣ y = x + t (x^{2} - x), 0 \leq t \leq 1, 1 \leq x \leq 2}

表示的图形中, 两点间最大距离为

d

面积为

S

,则

A.

d = 3, S < 1

B.

d = 3, S > 1

C.

d = \sqrt{10}, S < 1

D.

d = \sqrt{10}, S > 1

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34. 二次函数

y = x^{2} + (a - 1) x + 1 (a > 0)

只有一个零点, 则不等式

a x^{2} - 8 x - a \geq 0

的解集为

A.

{x | - \frac{1}{3} < x < 3}

B.

{x | - \frac{1}{3} \leq x \leq 3}

C.

{x | x < - \frac{1}{3}

或

x > 3}

D.

{x | x \leq - \frac{1}{3}

或

x \geq 3}

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35. 若关于

x

的不等式

x^{2} - 4 x - a > 0

在区间

(1, 5)

内有解, 则实数

a

的取值范围是

A.

(- \infty, 5)

B.

(5, + \infty)

C.

(- 4, + \infty)

D.

(- \infty, - 4)

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36. 不等式

a x^{2} - b x + c > 0

的解集为

{x ∣ - 2 < x < 1}

, 则函数

y = a x^{2} + b x + c

的图像大致为

A.

B.

C.

D.

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37. 已知函数

f (x) = (a x - 1) (x + b)

, 如果不等式

f (x) > 0

的解集为

(- 1, 3)

, 那么不等式

f (- 2 x) > 0

的解集为

A.

(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)

B.

(- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})

C.

(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)

D.

(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})

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38. 已知函数

f (x)

的定义域为

B

, 函数

f (1 - 3 x)

的定义域为

A = [\frac{1}{4}, 1]

, 若

\exists x \in B

, 使得

a > x^{2} - x + 1

成立,则实数

a

的取值范围为

A.

(- \infty, \frac{13}{16})

B.

(0, \frac{13}{16})

C.

(\frac{13}{16}, + \infty)

D.

(- \frac{13}{16}, \frac{13}{16})

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39. 若

a, b, c \in R

, 则下列命题正确的是（）

A.

若

a > b, c > d

, 则

a - c > b - d

B.

若

a > b

, 则

\frac{1}{a} < \frac{1}{b}

C.

若

a > b

, 则

a^{3} > b^{3}

D.

若

a > b

, 则

a c^{2} > b c^{2}

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40. 函数

y = 3 x + \frac{1}{x - 1} (x > 1)

的最小值是

A.

B.

2 \sqrt{3} - 3

C.

2 \sqrt{3}

D.

2 \sqrt{3} + 3

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