题号:861    题型:单选题    来源:2017 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
几位大学生响应国家的创业号召, 开发了一款应用软件. 为激发大 家学习数学的兴趣, 他们推出了 “解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软 件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列 1, 1, 2, 1,2,4,1,2,4, $8,1,2,4,8,16, \ldots$, 其中第一项是 $2^{0}$, 接下来的两项是 $2^{0}, 2^{1}$, 再接下来的三项是 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}$, 依此类推. 求满足如下条件的最小整数 $N: N > 100$ 且该数列的前 $N$ 项和为 2 的整数幂. 那么该款软件的激活码是( )
$A.$ 440 $B.$ 330 $C.$ 220 $D.$ 110
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答案:
A

解析:

解:设该数列为 $\left\{a_{n}\right\}$, 设 $b_{n}=\frac{a_{(n-1) n}}{2}+1 \frac{}{\frac{n n}{n}(n+1)}$ 则 $\sum_{i=1}^{n} b_{i}=\sum_{i=1}^{\frac{n(n+1)}{2}} a_{i}$,
由题意可设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $N$ 项和为 $S_{N}$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$, 则 $T_{n}=2^{1}-1+2^{2}-1+\ldots+2^{n+1-} 1=2^{n+1-} n-2$,
可知当 $N$ 为 $\frac{n(n+1)}{2}$ 时 $\left(n \in N_{+}\right)$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $N$ 项和为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 即为 $2^{n+1-n-2}$,
容易得到 $N > 100$ 时, $n \geqslant 14$,
A 项, 由 $\frac{29 \times 30}{2}=435,440=435+5$, 可知 $S_{440}=T_{29}+b_{5}=2^{30}-29-2+2^{5}-1=2^{30}$, 故 A 项符合题意.
$B$ 项, 仿上可知 $\frac{25 \times 26}{2}=325$, 可知 $\mathrm{S}_{330}=T_{25}+b_{5}=2^{26}-25-2+2^{5}-1=2^{26}+4$, 显然不 为 2 的整数幂, 故 B 项不符合题意.

C 项, 仿上可知 $\frac{20 \times 21}{2}=210$, 可知 $S_{220}=T_{20}+b_{10}=2^{21}-20-2+2^{10}-1=2^{21}+2^{10}-23$, 显然不为 2 的整数幂, 故 C 项不符合题意.

D 项, 仿上可知 $\frac{14 \times 15}{2}=105$, 可知 $S_{110}=T_{14}+b_{5}=2^{15}-14-2+2^{5}-1=2^{15}+15$, 显然 不为 2 的整数幕, 故 D 项不符合题意.
故选 A.
方 法 二 : 由 题 意 可 知 : 第一项, $\frac{2^{0}, 2^{1}}{\text { 第二项 }}, \frac{2^{0}, 2^{1}, 2^{2}}{\text { 第三项 }}, \cdots$
$$
\frac{2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, \cdots, 2^{n-1}}{\text { 第n项 }},
$$
根据等比数列前 $n$ 项和公式, 求得每项和分别为 $2^{1-} 1,2^{2}-1,2^{3}-1, \ldots, 2^{n-} 1$
每项含有的项数为: $1,2,3, \ldots, n$,
总共的项数为 $\mathrm{N}=1+2+3+\ldots+n=\frac{(1+n) n}{2}$,
所有项数的和为 $\mathrm{S}_{n}: 2^{1-} 1^{1+2^{2}-} 1+2^{3}-1+\ldots+2^{n-} 1=\left(2^{1}+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{n}\right)-n=$ $\frac{2\left(1-2^{n}\right)}{1-2}-n=2^{n+1}-2-n$,
由题意可知: $2^{n+1}$ 为 2 的整数幂. 只需将- 2- $n$ 消去即可,
则(1) $1+2+(-2-n)=0$, 解得: $n=1$, 总共有 $\frac{(1+1) \times 1}{2}+2=3$, 不满足 $\mathrm{N} > 100$,
(2) $1+2+4+(-2-n)=0$, 解得: $n=5$, 总共有 $\frac{(1+5) \times 5}{2}+3=18$, 不满足 $\mathrm{N} > 100$,
(3) $1+2+4+8+(-2-n)=0$, 解得: $n=13$, 总共有 $\frac{(1+13) \times 13}{2}+4=95$, 不满足 $N > $ 100 ,
(4) $1+2+4+8+16+(-2-n)=0$, 解得: $n=29$, 总共有 $\frac{(1+29) \times 29}{2}+5=440$, 满足 $N$ $ > 100$,
$\therefore$ 该款软件的激活码 440 .
故选: A.

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