几位大学生响应国家的创业号召, 开发了一款应用软件. 为激发大 家学习数学的兴趣, 他们推出了 “解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软 件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1, 1, 2, 1，2，4，1，2，4, $8,1,2,4,8,16, \ldots$, 其中第一项是 $2^{0}$, 接下来的两项是 $2^{0}, 2^{1}$, 再接下来的三项是 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}$, 依此类推. 求满足如下条件的最小整数 $N: N>100$ 且该数列的前 $N$ 项和为 2 的整数幂. 那么该款软件的激活码是（ ）
A. 440
B. 330
C. 220
D. 110