一、单选题 （共 66 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知 $P$ 是等边三角形 $A B C$ 所在平面内一点, 且 $A B=2 \sqrt{3}, B P=1$, 则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{C P}$ 的最 小值是
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $2$
已知单位向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}=(0,2)$ 垂直, 若向量 $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=1$, 则 $|\vec{c}|$ 的取值范围 为
$\text{A.}$ $[1, \sqrt{5}-1]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{\sqrt{3}-1}{2}, \frac{\sqrt{3}+1}{2}\right]$
$\text{C.}$ $[\sqrt{5}-1, \sqrt{5}+1]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{\sqrt{3}+1}{2}, 3\right]$
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a}=(\sqrt{3}, 1), \vec{a} \cdot \vec{b}=4$, 则 $|\vec{b}|$ 的最小值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ 3
在平行四边形 $A B C D$ 中, $E, F$ 分别是 $B C, C D$ 的中点, $D E$ 交 $A F$ 点 $G$, 则 $\overrightarrow{A G}=$
$\text{A.}$ $\frac{2}{5} \overrightarrow{A B}-\frac{4}{5} \overrightarrow{B C}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{4}{5} \overrightarrow{B C}$
$\text{C.}$ $-\frac{2}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{4}{5} \overrightarrow{B C}$
$\text{D.}$ $-\frac{2}{5} \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{B C}$
已知点 $O$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内的一点, 且 $\overrightarrow{O A}^2=\overrightarrow{O B}^2=\overrightarrow{O C}^2, \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O C}$. $\overrightarrow{O A}=-2$, 则 $\triangle A B C$ 的面积为
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$
在 $\triangle A B C$ 中, $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=9, \sin (A+C)=\cos A \sin C, S_{\triangle A B C}=6, P$ 为线段 $A B$ 上的动 点, 且 $\overrightarrow{C P}=x \cdot \frac{\overrightarrow{C A}}{|\overrightarrow{C A}|}+y \cdot \frac{\overrightarrow{C B}}{|\overrightarrow{C B}|}$, 则 $\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{11}{6}+\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{11}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{11}{12}+\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{11}{12}$
$\triangle A B C$ 中, $A C=\sqrt{2}, A B=2, A=45^{\circ}, P$ 是 $\triangle A B C$ 外接圆上一点, $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A C}$, 则 $\lambda+\mu$ 的最大值是
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$
如图, 在平行四边形 $A B C D$ 中, $\overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{A E}, \overrightarrow{A F}=\overrightarrow{F D}$, 点 $G$ 为 $C E$ 与 $B F$ 的交点, 则 $\overrightarrow{A G}=$
$\text{A.}$ $\frac{2}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{5} \overrightarrow{A C}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{5} \overrightarrow{A C}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{4}{15} \overrightarrow{A C}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{10} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{5} \overrightarrow{A C}$
平面向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 相互垂直，已知 $\boldsymbol{a}=(6,-8) ，|\boldsymbol{b}|=5$ ， 且 $\boldsymbol{b}$ 与向量 $(1,0)$ 的夹角是钝角，则$b=$
$\text{A.}$ $(-3,-4)$
$\text{B.}$ $(4,3)$
$\text{C.}$ $(-4,3)$
$\text{D.}$ $(-4,-3)$
已知向量 $a=(m+4, m), b=(3,1)$, 且 $a / / b$, 则 $m=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知 $D, E$ 分别是 $\triangle A B C$ 的边 $A B, A C$ 上的点, 且满足 $\overrightarrow{A D}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A E}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$. $F$ 为直线 $D E$ 与直线 $B C$ 的交点. 若 $\overrightarrow{A F}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A C}$ ( $\lambda, \mu$ 为实数), 则 $\mu-\lambda$ 的值为
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $-\frac{5}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
$\text{B.}$ 模相等的两个平行向量是相等向量
$\text{C.}$ 若a和b都是单位向量，则a=b
$\text{D.}$ 零向量与其它向量都共线
化简 $\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{A B}$ 得
$\text{A.}$ $\overrightarrow{0}$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{D A}$
$\text{C.}$ $\overrightarrow{B C}$
$\text{D.}$ $\overrightarrow{A B}$
已知向量 $\vec{a}=(x-1,2), \vec{b}=(2,1)$, 则 $\vec{a} \perp \vec{b}$ 的充要条件是
$\text{A.}$ $x=-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $x=-1$
$\text{C.}$ $x=5$
$\text{D.}$ $x=0$
若 $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}$ 是平面 $\alpha$ 内的一组基底, 则下列四组向量能作为平面 $\alpha$ 的一组基底的是
$\text{A.}$ $\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_2}-\overrightarrow{e_1}$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$
$\text{C.}$ $2 \overrightarrow{e_2}-3 \overrightarrow{e_1},-6 \overrightarrow{e_1}+4 \overrightarrow{e_2}$
$\text{D.}$ $2 \overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_1}+\frac{1}{2} \overrightarrow{e_2}$
向量 $\overrightarrow{P A}=(k, 12), \overrightarrow{P B}=(4,5), \overrightarrow{P C}=(10, k)$, 若 $A, B, C$ 三点共线, 则 $k$ 的值为
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ 11
$\text{C.}$ -2 或 11
$\text{D.}$ 2 或 11
下列关于向量 $\vec{a}, \vec{b}$, $\vec{c}$ 的运算, 不一定成立的是
$\text{A.}$ $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c}=\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{c}$
$\text{B.}$ $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}=\vec{a} \cdot(\vec{b} \cdot \vec{c})$
$\text{C.}$ $\vec{a} * \vec{b} \le | \vec{a}|* |\vec{b}|$
$\text{D.}$ $ | \vec{a} - \vec{b}| \le | \vec{a}| + | \vec{b}|$
已知两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$, 则下面结论正确的是
$\text{A.}$ $\vec{a} / / \vec{b}$
$\text{B.}$ $\vec{a} \perp \vec{b}$
$\text{C.}$ $|\vec{a}|=|\vec{b}|$
$\text{D.}$ $\vec{a}+\vec{b}=\vec{a}-\vec{b}$
已知点 $A(3,-2), B(-5,-1)$, 且 $\overrightarrow{A P}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$, 则点 $P$ 的坐标为
$\text{A.}$ $\left(-1,-\frac{3}{2}\right)$
$\text{B.}$ $(-8,1)$
$\text{C.}$ $\left(1, \frac{3}{2}\right)$
$\text{D.}$ $(8,-1)$
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=5,|\vec{b}|=6, \vec{a} \cdot \vec{b}=-6$, 则向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{a}+\vec{b}$ 夹角的余弦值
$\text{A.}$ $-\frac{31}{35}$
$\text{B.}$ $-\frac{19}{35}$
$\text{C.}$ $\frac{17}{35}$
$\text{D.}$ $\frac{19}{35}$
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\overrightarrow{A N}=\frac{1}{3} \overrightarrow{N C}, P$ 是 $B N$ 上的一点, 若 $\overrightarrow{A P}=m \overrightarrow{A B}+\frac{2}{11} \overrightarrow{A C}$, 则实数 $m$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{9}{11}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{11}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{11}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{11}$
在日常生活中, 我们会看到如图所示的情境, 两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为 $\vec{G}$, 作用 在行李包上的两个拉力分别为 $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}$, 且 $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|, \overrightarrow{F_1}$ 与 $\overrightarrow{F_2}$ 的夹角为 $\theta$, 下列结论中正确的是
$\text{A.}$ $\theta$ 越小越费力, $\theta$ 越大越省力
$\text{B.}$ $\theta$ 的范围为 $[0, \pi]$
$\text{C.}$ 当 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时, $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=|\vec{G}|$
$\text{D.}$ 当 $\theta=\frac{2 \pi}{3}$ 时, $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=|\vec{G}| \mid$
已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a}=(1,-\sqrt{3}),|\vec{b}|=1,|\vec{a}+2 \vec{b}|=2$, 则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{a}+2 \vec{b}$ 的夹角为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=3, \vec{a}-\vec{b}=(3,1)$, 则 $|3 \vec{a}-\vec{b}|= $
$\text{A.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{15}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{5}$
在 $\triangle A B C$ 中, $B C=2, \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=8$, 若 $D$ 是 $B C$ 的中点, 则 $A D=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
正六边形 $A B C D E F$ 中, 用 $\overrightarrow{A C}$ 和 $\overrightarrow{A E}$ 表示 $\overrightarrow{C D}$, 则 $\overrightarrow{C D}=$
$\text{A.}$ $-\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A E}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A E}$
$\text{C.}$ $-\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A E}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A E}$
已知 $P$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面内的点, 满足 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P C}=\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{P A}$, 则 $P$ 是 $\triangle A B C$ 的
$\text{A.}$ 重心
$\text{B.}$ 垂心
$\text{C.}$ 内心
$\text{D.}$ 外心
在如图所示的半圆中, $A B$ 为直径, $O$ 为圆心, 点 $C$ 为半圆上一点且 $\angle O C B=15^{\circ},|\overrightarrow{A B}|=2 \sqrt{2}$, 则 $|\overrightarrow{A C}|$ 等于
$\text{A.}$ $4+2 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}+1$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}-1$
$\text{D.}$ $4-2 \sqrt{3}$
点 $P$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面内一点且满足 $\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}$, 则下列说法正确的个数有
(1)若 $x=y=\frac{1}{2}$, 则点 $P$ 是边 $B C$ 的中点
(2)若点 $P$ 是 $B C$ 边上靠近 $B$ 点的三等分点, 则 $x=\frac{1}{3}, y=\frac{2}{3}$
(3)若点 $P$ 在 $B C$ 边的中线上且 $x+y=\frac{1}{2}$, 则点 $P$ 是 $\triangle A B C$ 的重心
(4)若 $x+y=2$, 则 $\triangle P B C$ 与 $\triangle A B C$ 的面积相等
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
已知 $P$ 是边长为 2 的菱形 $A B C D$ 内一点, 若 $\angle B A D=120^{\circ}$, 则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A B}$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-2,4)$
$\text{B.}$ $(-2,2)$
$\text{C.}$ $(2,4)$
$\text{D.}$ $(-4,2)$
如图, 直线 $x=t$ 与函数 $f(x)=\log _4 x$ 和 $g(x)=\log _4 x-1$ 的图象分别交于点 $A, B$, 若函数 $y=f(x)$ 的图象上存在一 点 $C$, 使得 $\triangle A B C$ 为等边三角形, 则 $t$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$
在平面直角坐标系中, $A(2,0), B(0,2)$. 以下各曲线: (1) $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$; (2) $(x+2)^2+y^2=2$; (3) $y^2=2 x$; (4) $x^2-y^2=1$ 中, 存在两个不同的点 $M$, $N$,使得 $|M A|=|M B|$ 且 $|N A|=|N B|$ 的曲线是
$\text{A.}$ (1)(2)
$\text{B.}$ (3)(4)
$\text{C.}$ (2)(4)
$\text{D.}$ (1)(3)
已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=3|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}|=3$, 则 $\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=$
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 14
$\text{D.}$ 23
$\mid$ 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=2, \vec{b}=(1,1),|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{10}$, 则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为
$\text{A.}$ $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$\text{B.}$ $(1,1)$
$\text{C.}$ $(-1,-1)$
$\text{D.}$ $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
已知菱形 $A B C D$ 的边长为 4 , 点 $E, F$ 分别是线段 $C D, A D$ 上靠近点 $D, A$ 的三等分点, 若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=8$, 则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B F}=$
$\text{A.}$ $\frac{64}{9}$
$\text{B.}$ $-\frac{64}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{16}{3}$
$\text{D.}$ $-\frac{16}{3}$
已知向量 $\mid \vec{a}=(4,2)$, 向量 $\vec{b}=(x,-1)$, 若 $\vec{a} / / \vec{b}$, 则 $|\vec{b}|=$
$\text{A.}$ $\sqrt{5}$
$\text{B.}$ $5$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{4}$
如图, 在边长为 2 的等边 $\triangle A B C$ 中, 点 $E$ 为中线 $B D$ 的三等分点 (靠近点 $B$ ), 点 $F$ 为 $B C$ 的中点, 则 $\overrightarrow{F E} \cdot \overrightarrow{E C}=(\quad) \mid$
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{4}$
$\text{B.}$ $-\frac{5}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
已知向量 $a=(1,1)$,$ b=(1,-1)$. 若 $(a+i b) \perp(b+\mu b)$, 则
$\text{A.}$ $i+\mu=1$
$\text{B.}$ $i+\mu=-1$
$\text{C.}$ $i \mu=1$
$\text{D.}$ $i \mu=-1$
向量 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=1 ，|\boldsymbol{c}|=\sqrt{2}$ 且 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=0$ ，则 $\cos \langle\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\rangle=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $-\frac{2}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
已知 $\odot O$ 的半径为 1 , 直线 $P A$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$, 直线 $P B$ 与 $\odot O$ 交于 $B, C$ 两点, $D$ 为 $B C$ 的中点, 若 $|P O|=\sqrt{2}$, 则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P D}$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1+2 \sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $1+\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $2+\sqrt{2}$