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试卷1

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

P

是等边三角形

A B C

所在平面内一点, 且

A B = 2 \sqrt{3}, B P = 1

, 则

\vec{A P} \cdot \vec{C P}

的最小值是

A.

1

B.

\sqrt{2}

C.

\sqrt{3}

D.

2

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2. 已知单位向量

\vec{a}

与向量

\vec{b} = (0, 2)

垂直, 若向量

\vec{c}

满足

| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | = 1

, 则

| \vec{c} |

的取值范围为

A.

[1, \sqrt{5} - 1]

B.

[\frac{\sqrt{3} - 1}{2}, \frac{\sqrt{3} + 1}{2}]

C.

[\sqrt{5} - 1, \sqrt{5} + 1]

D.

[\frac{\sqrt{3} + 1}{2}, 3]

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3. 已知向量

\vec{a}, \vec{b}

满足

\vec{a} = (\sqrt{3}, 1), \vec{a} \cdot \vec{b} = 4

, 则

| \vec{b} |

的最小值为

A.

B.

\sqrt{2}

C.

\sqrt{3}

D.

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4. 在平行四边形

A B C D

中,

E, F

分别是

B C, C D

的中点,

D E

交

A F

点

G

, 则

\vec{A G} =

A.

\frac{2}{5} \vec{A B} - \frac{4}{5} \vec{B C}

B.

\frac{2}{5} \vec{A B} + \frac{4}{5} \vec{B C}

C.

- \frac{2}{5} \vec{A B} + \frac{4}{5} \vec{B C}

D.

- \frac{2}{5} \vec{A B} - \vec{B C}

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5. 已知点

O

为

△ A B C

所在平面内的一点, 且

{\vec{O A}}^{2} = {\vec{O B}}^{2} = {\vec{O C}}^{2}, \vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C}

\vec{O A} = - 2

, 则

△ A B C

的面积为

A.

\sqrt{3}

B.

2 \sqrt{3}

C.

3 \sqrt{3}

D.

\frac{5 \sqrt{3}}{4}

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6. 在

△ A B C

中,

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9, \sin (A + C) = \cos A \sin C, S_{△ A B C} = 6, P

为线段

A B

上的动点, 且

\vec{C P} = x \cdot \frac{\vec{C A}}{| \vec{C A} |} + y \cdot \frac{\vec{C B}}{| \vec{C B} |}

, 则

\frac{2}{x} + \frac{1}{y}

的最小值为

A.

\frac{11}{6} + \frac{\sqrt{6}}{3}

B.

\frac{11}{6}

C.

\frac{11}{12} + \frac{\sqrt{6}}{3}

D.

\frac{11}{12}

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△ A B C

中,

A C = \sqrt{2}, A B = 2, A = 45^{\circ}, P

是

△ A B C

外接圆上一点,

\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}

, 则

λ + μ

的最大值是

A.

\frac{\sqrt{2} + 1}{2}

B.

\frac{\sqrt{2} - 1}{2}

C.

\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}

D.

\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}

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8. 如图, 在平行四边形

A B C D

中,

\vec{A B} = 2 \vec{A E}, \vec{A F} = \vec{F D}

, 点

G

为

C E

与

B F

的交点, 则

\vec{A G} =

A.

\frac{2}{5} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}

B.

\frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}

C.

\frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{4}{15} \vec{A C}

D.

\frac{3}{10} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}

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9. 平面向量

a

与

b

相互垂直，已知

a = (6, - 8) ， | b | = 5

，且

b

与向量

(1, 0)

的夹角是钝角，则

b =

A.

(- 3, - 4)

B.

(4, 3)

C.

(- 4, 3)

D.

(- 4, - 3)

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10. 已知向量

a = (m + 4, m), b = (3, 1)

, 且

a / / b

, 则

m =

A.

B.

C.

D.

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11. 已知

D, E

分别是

△ A B C

的边

A B, A C

上的点, 且满足

\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B}, \vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A C}

F

为直线

D E

与直线

B C

的交点. 若

\vec{A F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}

(

λ, μ

为实数), 则

μ - λ

的值为

A.

1

B.

- \frac{5}{3}

C.

\frac{5}{3}

D.

\frac{1}{2}

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12. 下列说法中正确的是

A.

若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B.

模相等的两个平行向量是相等向量

C.

若a和b都是单位向量，则a=b

D.

零向量与其它向量都共线

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13. 化简

\vec{A C} - \vec{B D} + \vec{C D} - \vec{A B}

得

A.

\vec{0}

B.

\vec{D A}

C.

\vec{B C}

D.

\vec{A B}

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14. 已知向量

\vec{a} = (x - 1, 2), \vec{b} = (2, 1)

, 则

\vec{a} ⊥ \vec{b}

的充要条件是

A.

x = - \frac{1}{2}

B.

x = - 1

C.

x = 5

D.

x = 0

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15. 若

\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}

是平面

α

内的一组基底, 则下列四组向量能作为平面

α

的一组基底的是

A.

\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}, \vec{e_{2}} - \vec{e_{1}}

B.

\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}, \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}

C.

2 \vec{e_{2}} - 3 \vec{e_{1}}, - 6 \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}}

D.

2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}, \vec{e_{1}} + \frac{1}{2} \vec{e_{2}}

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16. 向量

\vec{P A} = (k, 12), \vec{P B} = (4, 5), \vec{P C} = (10, k)

, 若

A, B, C

三点共线, 则

k

的值为

A.

-2

B.

C.

-2 或 11

D.

2 或 11

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17. 下列关于向量

\vec{a}, \vec{b}

\vec{c}

的运算, 不一定成立的是

A.

(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}

B.

(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})

C.

\vec{a} * \vec{b} \leq | \vec{a} | * | \vec{b} |

D.

| \vec{a} - \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |

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18. 已知两个非零向量

\vec{a}, \vec{b}

满足

| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |

, 则下面结论正确的是

A.

\vec{a} / / \vec{b}

B.

\vec{a} ⊥ \vec{b}

C.

| \vec{a} | = | \vec{b} |

D.

\vec{a} + \vec{b} = \vec{a} - \vec{b}

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19. 已知点

A (3, - 2), B (- 5, - 1)

, 且

\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{A B}

, 则点

P

的坐标为

A.

(- 1, - \frac{3}{2})

B.

(- 8, 1)

C.

(1, \frac{3}{2})

D.

(8, - 1)

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20. 已知向量

\vec{a}, \vec{b}

满足

| \vec{a} | = 5, | \vec{b} | = 6, \vec{a} \cdot \vec{b} = - 6

, 则向量

\vec{a}

和向量

\vec{a} + \vec{b}

夹角的余弦值

A.

- \frac{31}{35}

B.

- \frac{19}{35}

C.

\frac{17}{35}

D.

\frac{19}{35}

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21. 如图, 在

△ A B C

中,

\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{N C}, P

是

B N

上的一点, 若

\vec{A P} = m \vec{A B} + \frac{2}{11} \vec{A C}

, 则实数

m

的值为

A.

\frac{9}{11}

B.

\frac{5}{11}

C.

\frac{3}{11}

D.

\frac{2}{11}

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22. 在日常生活中, 我们会看到如图所示的情境, 两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为

\vec{G}

, 作用在行李包上的两个拉力分别为

\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}

, 且

| \vec{F_{1}} | = | \vec{F_{2}} |, \vec{F_{1}}

与

\vec{F_{2}}

的夹角为

θ

, 下列结论中正确的是

A.

θ

越小越费力,

θ

越大越省力

B.

θ

的范围为

[0, π]

C.

当

θ = \frac{π}{2}

时,

| \vec{F_{1}} | = | \vec{G} |

D.

当

θ = \frac{2 π}{3}

时,

| \vec{F_{1}} | = | \vec{G} | ∣

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23. 已知平面向量

\vec{a}, \vec{b}

满足

\vec{a} = (1, - \sqrt{3}), | \vec{b} | = 1, | \vec{a} + 2 \vec{b} | = 2

, 则向量

\vec{a}

与向量

\vec{a} + 2 \vec{b}

的夹角为

A.

\frac{π}{6}

B.

\frac{π}{4}

C.

\frac{π}{3}

D.

\frac{π}{2}

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24. 已知向量

\vec{a}, \vec{b}

满足

| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 3, \vec{a} - \vec{b} = (3, 1)

, 则

| 3 \vec{a} - \vec{b} | =

A.

2 \sqrt{2}

B.

\sqrt{15}

C.

3 \sqrt{2}

D.

2 \sqrt{5}

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25. 在

△ A B C

中,

B C = 2, \vec{A B} \cdot \vec{A C} = 8

, 若

D

是

B C

的中点, 则

A D =

A.

B.

C.

D.

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26. 正六边形

A B C D E F

中, 用

\vec{A C}

和

\vec{A E}

表示

\vec{C D}

, 则

\vec{C D} =

A.

- \frac{2}{3} \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A E}

B.

- \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A E}

C.

- \frac{2}{3} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A E}

D.

- \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A E}

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27. 已知

P

是

△ A B C

所在平面内的点, 满足

\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}

, 则

P

是

△ A B C

的

A.

重心

B.

垂心

C.

内心

D.

外心

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28. 在如图所示的半圆中,

A B

为直径,

O

为圆心, 点

C

为半圆上一点且

∠ O C B = 15^{\circ}, | \vec{A B} | = 2 \sqrt{2}

, 则

| \vec{A C} |

等于

A.

4 + 2 \sqrt{3}

B.

\sqrt{3} + 1

C.

\sqrt{3} - 1

D.

4 - 2 \sqrt{3}

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29. 点

P

是

△ A B C

所在平面内一点且满足

\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}

, 则下列说法正确的个数有
(1)若

x = y = \frac{1}{2}

, 则点

P

是边

B C

的中点
(2)若点

P

是

B C

边上靠近

B

点的三等分点, 则

x = \frac{1}{3}, y = \frac{2}{3}

(3)若点

P

在

B C

边的中线上且

x + y = \frac{1}{2}

, 则点

P

是

△ A B C

的重心
(4)若

x + y = 2

, 则

△ P B C

与

△ A B C

的面积相等

A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

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30. 已知

P

是边长为 2 的菱形

A B C D

内一点, 若

∠ B A D = 120^{\circ}

, 则

\vec{A P} \cdot \vec{A B}

的取值范围是

A.

(- 2, 4)

B.

(- 2, 2)

C.

(2, 4)

D.

(- 4, 2)

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31. 如图, 直线

x = t

与函数

f (x) = \log_{4} x

和

g (x) = \log_{4} x - 1

的图象分别交于点

A, B

, 若函数

y = f (x)

的图象上存在一点

C

, 使得

△ A B C

为等边三角形, 则

t

的值为

A.

\frac{\sqrt{3}}{2}

B.

\frac{3 \sqrt{3}}{4}

C.

\sqrt{3}

D.

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

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32. 在平面直角坐标系中,

A (2, 0), B (0, 2)

. 以下各曲线: (1)

\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1

; (2)

(x + 2)^{2} + y^{2} = 2

; (3)

y^{2} = 2 x

; (4)

x^{2} - y^{2} = 1

中, 存在两个不同的点

M

N

,使得

| M A | = | M B |

且

| N A | = | N B |

的曲线是

A.

(1)(2)

B.

(3)(4)

C.

(2)(4)

D.

(1)(3)

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33. 已知向量

a, b

满足

| a | = 3 | b | = | a - 2 b | = 3

, 则

a \cdot (a - b) =

A.

B.

C.

D.

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34.

∣

已知向量

\vec{a}, \vec{b}

满足

| \vec{a} | = 2, \vec{b} = (1, 1), | \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{10}

, 则向量

\vec{a}

在向量

\vec{b}

上的投影向量的坐标为

A.

(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})

B.

(1, 1)

C.

(- 1, - 1)

D.

(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})

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35. 已知菱形

A B C D

的边长为 4 , 点

E, F

分别是线段

C D, A D

上靠近点

D, A

的三等分点, 若

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 8

, 则

\vec{A E} \cdot \vec{B F} =

A.

\frac{64}{9}

B.

- \frac{64}{9}

C.

\frac{16}{3}

D.

- \frac{16}{3}

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36. 已知向量

∣ \vec{a} = (4, 2)

, 向量

\vec{b} = (x, - 1)

, 若

\vec{a} / / \vec{b}

, 则

| \vec{b} | =

A.

\sqrt{5}

B.

5

C.

\frac{\sqrt{5}}{2}

D.

\frac{5}{4}

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37. 如图, 在边长为 2 的等边

△ A B C

中, 点

E

为中线

B D

的三等分点 (靠近点

B

), 点

F

为

B C

的中点, 则

\vec{F E} \cdot \vec{E C} = () ∣

A.

- \frac{\sqrt{3}}{4}

B.

- \frac{5}{6}

C.

\frac{3}{4}

D.

\frac{1}{2}

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38. 已知向量

a = (1, 1)

b = (1, - 1)

. 若

(a + i b) ⊥ (b + μ b)

, 则

A.

i + μ = 1

B.

i + μ = - 1

C.

i μ = 1

D.

i μ = - 1

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39. 向量

| a | = | b | = 1 ， | c | = \sqrt{2}

且

a + b + c = 0

，则

\cos ⟨ a - c, b - c ⟩ =

A.

- \frac{1}{5}

B.

- \frac{2}{5}

C.

\frac{2}{5}

D.

\frac{4}{5}

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40. 已知

⊙ O

的半径为 1 , 直线

P A

与

⊙ O

相切于点

A

, 直线

P B

与

⊙ O

交于

B, C

两点,

D

为

B C

的中点, 若

| P O | = \sqrt{2}

, 则

\vec{P A} \cdot \vec{P D}

的最大值为

A.

\frac{1 + \sqrt{2}}{2}

B.

\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}

C.

1 + \sqrt{2}

D.

2 + \sqrt{2}

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