在 $\triangle A B C$ 中, $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=9, \sin (A+C)=\cos A \sin C, S_{\triangle A B C}=6, P$ 为线段 $A B$ 上的动 点, 且 $\overrightarrow{C P}=x \cdot \frac{\overrightarrow{C A}}{|\overrightarrow{C A}|}+y \cdot \frac{\overrightarrow{C B}}{|\overrightarrow{C B}|}$, 则 $\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$ 的最小值为
$ \text{A.} $ $\frac{11}{6}+\frac{\sqrt{6}}{3}$ $ \text{B.} $ $\frac{11}{6}$ $ \text{C.} $ $\frac{11}{12}+\frac{\sqrt{6}}{3}$ $ \text{D.} $ $\frac{11}{12}$
【答案】 C

【解析】 解析】
设 $|\overrightarrow{A B}|=c,|\overrightarrow{A C}|=b$, 根据题意可得 $\left\{\begin{array}{c}b c \cos A=9 \\ b=c \cos A \\ \frac{1}{2} b c \sin A=6\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}b=3 \\ c=5\end{array}, \sin A=\frac{4}{5}, \cos A=\frac{3}{5}\right.$ 所以 $|\overrightarrow{C B}|=a=4$, 所以 $\overrightarrow{C P}=x \cdot \frac{\overrightarrow{C A}}{|\overrightarrow{C A}|}+y \cdot \frac{\overrightarrow{C B}}{|\overrightarrow{C B}|}=\frac{x}{3} \overrightarrow{C A}+\frac{y}{4} \overrightarrow{C B}$,
因为 $A, P, B$ 三点共线, 所以 $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$,
所以 $\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\right)=\frac{11}{12}+\frac{x}{3 y}+\frac{y}{2 x} \geq \frac{11}{12}+2 \sqrt{\frac{x}{3 y} \cdot \frac{y}{2 x}}=\frac{11}{12}+\frac{\sqrt{6}}{3}$,
当且仅当 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1 \\ \frac{x}{3 y}=\frac{y}{2 x}\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{6(4-\sqrt{6})}{5} \\ y=\frac{4(2 \sqrt{6}-3)}{5}\end{array}\right.$ 时取等号,
所以 $\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$ 的最小值为 $\frac{11}{12}+\frac{\sqrt{6}}{3}$,
故选: C
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