题号:4217    题型:单选题    来源:湘豫名校联考2022.12月理科数学试卷答案（老高考区）
如图, 在平行四边形 $A B C D$ 中, $\overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{A E}, \overrightarrow{A F}=\overrightarrow{F D}$, 点 $G$ 为 $C E$ 与 $B F$ 的交点, 则 $\overrightarrow{A G}=$
$ \text{A.}$ $\frac{2}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{5} \overrightarrow{A C}$ $ \text{B.}$ $\frac{1}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{5} \overrightarrow{A C}$ $ \text{C.}$ $\frac{1}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{4}{15} \overrightarrow{A C}$ $ \text{D.}$ $\frac{3}{10} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{5} \overrightarrow{A C}$
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答案：
A

解析：

由 $\overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{A E}, \overrightarrow{A F}=\overrightarrow{F D}$, 知 $E, F$ 分别为 $A B, A D$ 的中点. 如 图, 设 $A C$ 与 $B F$ 的交点为 $P$, 易得 $\triangle A P F \backsim \triangle C P B$, 所以 $\frac{A P}{C P}=\frac{A F}{C B}=\frac{A F}{A D}=$ $\frac{1}{2}$, 所以 $\overrightarrow{A P}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$. 因为点 $E$ 是 $A B$ 的中点, 所以 $\overrightarrow{A E}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$. 由 $P, G, B$ 三点共线知, 存在 $m \in \mathbf{R}$, 满足 $\overrightarrow{A G}=m \overrightarrow{A P}+(1-m) \overrightarrow{A B}=\frac{1}{3} m \overrightarrow{A C}+(1-m) \overrightarrow{A B}$. 由 $C, G, E$ 三点共线知, 存在 $n \in \mathbf{R}$, 满足 $\overrightarrow{A G}=n \overrightarrow{A E}+(1-n) \overrightarrow{A C}=\frac{1}{2} n \overrightarrow{A B}+(1-n) \overrightarrow{A C}$. 所以 $\frac{1}{3} m \overrightarrow{A C}+(1-m) \overrightarrow{A B}=\frac{1}{2} n \overrightarrow{A B}+(1-n) \overrightarrow{A C}$.

又因为 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}$ 为不共线的非零向量, 所以 $\left\{\begin{array}{l}1-m=\frac{1}{2} n, \\ \frac{1}{3} m=1-n,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}m=\frac{3}{5}, \\ n=\frac{1}{5} .\end{array}\right.$ 所以 $\overrightarrow{A G}=\frac{2}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{5} \overrightarrow{A C}$. 故选 $\mathrm{A}$.
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