已知单位向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}=(0,2)$ 垂直, 若向量 $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=1$, 则 $|\vec{c}|$ 的取值范围 为
$ \text{A.} $ $[1, \sqrt{5}-1]$ $ \text{B.} $ $\left[\frac{\sqrt{3}-1}{2}, \frac{\sqrt{3}+1}{2}\right]$ $ \text{C.} $ $[\sqrt{5}-1, \sqrt{5}+1]$ $ \text{D.} $ $\left[\frac{\sqrt{3}+1}{2}, 3\right]$
【答案】 C

【解析】 由题意不妨设 $\vec{a}=(1,0)$, 设 $\vec{c}=(x, y)$,
则 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=(1,0)+(0,2)+(x, y)=(1+x, 2+y)$.
$\because|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=1, \therefore(1+x)^2+(2+y)^2=1$, 即表示圆心为 $(-1,-2)$, 半径为 1 的圆,
设圆心为 $P, \therefore|O P|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$.
$\because|\vec{c}|=\sqrt{x^2+y^2}$ 表示圆 $P$ 上的点到坐标原点的距离, $\sqrt{5}-1 \leq|\vec{c}|=\sqrt{x^2+y^2} \leqslant \sqrt{5}+1$,
$\therefore|\vec{c}|$ 的取值范围为 $[\sqrt{5}-1, \sqrt{5}+1]$,
故选: C.
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