已知点 $O$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内的一点, 且 $\overrightarrow{O A}^2=\overrightarrow{O B}^2=\overrightarrow{O C}^2, \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O C}$. $\overrightarrow{O A}=-2$, 则 $\triangle A B C$ 的面积为
$ \text{A.} $ $\sqrt{3}$ $ \text{B.} $ $2 \sqrt{3}$ $ \text{C.} $ $3 \sqrt{3}$ $ \text{D.} $ $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$
【答案】 C

【解析】 因为 $\overrightarrow{O A}^2=\overrightarrow{O B}^2=\overrightarrow{O C}^2$, 所以 $|\overrightarrow{O A}|^2=|\overrightarrow{O B}|^2=|\overrightarrow{O C}|^2$, 所以 $|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{O C}|$, 所以 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心.
因为 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O C}$, 所以 $\overrightarrow{O B} \cdot(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O C})=0$, 所以 $\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{C A}=0$,
所以 $O B \perp C A$, 同理得 $O A \perp B C, O C \perp A B$,
所以 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的垂心,
因为 $\triangle A B C$ 的外心与垂心重合, 所以 $\triangle A B C$ 为正三角形,
所以 $\angle A O B=\angle B O C=\angle A O C=\frac{2 \pi}{3}$, 所以 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=|\overrightarrow{O A}| \cdot|\overrightarrow{O B}| \cdot \cos \frac{2 \pi}{3}=-\frac{1}{2}|\overrightarrow{O A}|^2=-2$ 所以 $|\overrightarrow{O A}|^2=4$, 所以 $S_{\triangle A B C}=3 S_{\triangle A O B}=3 \times \frac{1}{2}|\overrightarrow{O A}|^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=3 \sqrt{3}$.
故选: C.
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