一、单选题 （共 20 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
若 $\sin (\pi-\alpha)=\frac{4}{5}$, 则 $\cos 2 \alpha=$
$\text{A.}$ $-\frac{24}{25}$
$\text{B.}$ $\frac{7}{25}$
$\text{C.}$ $-\frac{7}{25}$
$\text{D.}$ $\frac{24}{25}$
若直线 $x=\frac{\pi}{4}$ 是曲线 $y=\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{4}\right)(\omega>0)$ 的一条对称轴, 且函数 $y=\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{4}\right)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{12}\right]$ 上不单调, 则 $\omega$ 的最小值为（）
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ 7
$\text{C.}$ 11
$\text{D.}$ 3
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $\theta$ 的大小如图所示，则 $9 \sin ^{2} \theta+\sin 2 \theta=$
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{48}{13}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{2}$
已知 $\triangle A B C$ 的边 $B C$ 的中点为 $D$, 点 $E$ 在 $\triangle A B C$ 所在平面内, 且 $\overrightarrow{C D}=3 \overrightarrow{C E}-2 \overrightarrow{C A}$, 若 $\overrightarrow{A C}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{B E}$, 则 $x+y=$
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 7
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 11
已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,1), \boldsymbol{b}=(m, 2)$, 且 $\boldsymbol{a} \perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$, 则 $|\boldsymbol{b}|=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$
已知向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(1,-3)$, 则
$\text{A.}$ $a / /(a+b)$
$\text{B.}$ $a / /(a-b)$
$\text{C.}$ $a \perp(a-b)$
$\text{D.}$ $a \perp(a+b)$
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1, \vec{b}=(t, 2-t), \vec{a}-\vec{b}$ 与 $a$ 垂直, 则 $|\vec{a}-\vec{b}|$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 3
已知 $\vec{e}_1, \overrightarrow{e_2}$ 是单位向量, 且它们的夹角是 $60^{\circ}$. 若 $\vec{a}=\overrightarrow{e_1}+2 \overrightarrow{e_2}, \vec{b}=\lambda \overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$, 且 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$, 则 $\lambda=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ 2 或 -3
$\text{D.}$ 3 或 -2
已知向量 $\boldsymbol{a}=(0,-2), \boldsymbol{b}=(1, t)$, 若向量 $\boldsymbol{b}$ 在向量 $\boldsymbol{a}$ 上的投影向量为 $-\frac{1}{2} \boldsymbol{a}$, 则 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $-\frac{5}{2}$
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ $\frac{11}{2}$
已知向量 $\vec{a}=(1, \sqrt{3}), \vec{b}=(\cos \alpha, \sin \alpha)$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $\vec{a} / / \vec{b}$, 则 $\tan \alpha=\sqrt{3}$
$\text{B.}$ 若 $\vec{a} \perp \vec{b}$, 则 $\tan \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$, 则 $|\vec{a}-\vec{b}|=3$
$\text{D.}$ 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相反, 则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是 $\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
已知向量 $\vec{a}=(2,0), \vec{b}=(-1, \sqrt{3})$, 则 $\vec{a}$ 与 $(\vec{a}-\vec{b})$ 夹角的余弦值为
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A$ 为 $\frac{\pi}{3}$, 角 $A$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$, 已知 $A D=2 \sqrt{3}$, 且 $\lambda \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A D}-\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}(\lambda \in R)$,则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$
已知平面向量 $\vec{a}=(3,2), \vec{b}=(-2,1)$, 若 $(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \perp \vec{b}$, 则 $\lambda=$
$\text{A.}$ $-\frac{4}{5}$
$\text{B.}$ $-\frac{3}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
设 $\vec{a}, \vec{b}$ 是非零向量, “ $\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$ ” 是 “ $\vec{a} / / \vec{b}$ ” 的
$\text{A.}$ 充分而不必要条件
$\text{B.}$ 必要而不充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
若 $|\mathrm{a}+\mathrm{b}|=|\mathrm{a}-\mathrm{b}|, \mathrm{a}=(1,2), \mathrm{b}=(\mathrm{m}, 3)$, 则实数 $\mathrm{m}=$
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ -6
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ -3
已知向量 $\vec{a}=(3,4), \vec{b}=(1,0), \vec{c}=\vec{a}+t \vec{b}$, 若 $\langle\vec{a}, \vec{c}\rangle=\langle\vec{b}, \vec{c}\rangle$, 则 $t=$
$\text{A.}$ -6
$\text{B.}$ -5
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 6
已知向量 $\vec{a}=(2,3), \vec{b}=(-1,3)$, 则 $|\vec{a}-2 \vec{b}|=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=1,|2 \vec{a}-\vec{b}|=5$, 则 $\vec{a} \cdot \vec{b}=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -4
$\text{C.}$ -5
$\text{D.}$ -10
设 $\vec{a}, \vec{b}$ 为平面内任意两个非零向量, 则下列不正确的是
$\text{A.}$ $\vec{a} / / \vec{b}$ 的充要条件是 $\exists \lambda \in R$, 使 $\vec{a}=\lambda \vec{b}$
$\text{B.}$ $\vec{a} \perp \vec{b}$ 的充要条件是 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$
$\text{C.}$ $|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|$ 的充要条件是 $\vec{a} / / \vec{b}$
$\text{D.}$ $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$ 的充要条件是 $\vec{a} / / \vec{b}$
已知平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$中, $A A_1=2, B D=3, \overrightarrow{A D_1} \cdot \overrightarrow{D C}-\overrightarrow{A B_1} \cdot \overrightarrow{B C}=4$, 则 $\cos \left\langle\overrightarrow{A A_1}, \overrightarrow{B D}\right\rangle=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$
二、多选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 20 分, 每题有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）
已知函数 $f(x)=0.5^{\sin x+\cos x}$, 则 ( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数
$\text{B.}$ 直线 $x=\frac{3 \pi}{4}$ 是 $f(x)$ 图象的一条对称轴
$\text{C.}$ $f(x)$ 的值域为 $\left[2^{-\sqrt{2}}, 2^{\sqrt{2}}\right]$
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $\left[\pi, \frac{5 \pi}{4}\right]$ 上单调递增
如图所示, 设 $O x, O y$ 是平面内相交成 $\theta\left(\theta \neq \frac{\pi}{2}\right)$ 角的两条数轴, $\overrightarrow{\mathrm{e}}_1, \overrightarrow{\mathrm{e}}_2$ 分别是与 $x$ 轴, $y$ 轴正方向同向的单位向量, 则称平面坐标系 $x O y$ 为 $\theta$ 反射坐标系. 在 $\theta$ 反射坐标系中, 若 $\overrightarrow{O M}=x \overrightarrow{\mathrm{e}_1}+y \overrightarrow{\mathrm{e}_2}$, 则把有序数对 $(x, y)$ 称为向量 $\overrightarrow{O M}$ 的反射坐标, 记为 $\overrightarrow{O M}=(x, y)$. 在 $\theta=\frac{2 \pi}{3}$ 的反射坐标系中, $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(2,-1)$, 其中正确的是
$\text{A.}$ $\vec{a}-\vec{b}=(-1,3)$
$\text{B.}$ $|\vec{a}|=\sqrt{5}$
$\text{C.}$ $\vec{a} \perp \vec{b}$
$\text{D.}$ $|\vec{b}|=\sqrt{7}$
设 $P$ 是 $\triangle A B C$ 内部 (不含边界) 的一点, 以下可能成立的是
$\text{A.}$ $\overrightarrow{O P}=\frac{2}{7} \overrightarrow{O A}+\frac{1}{7} \overrightarrow{O B}$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{O P}=\frac{2}{7} \overrightarrow{O A}+\frac{5}{7} \overrightarrow{O B}$
$\text{C.}$ $\overrightarrow{O P}=\frac{2}{7} \overrightarrow{O A}+\frac{4}{7} \overrightarrow{A B}$
$\text{D.}$ $\overrightarrow{O P}=\frac{4}{7} \overrightarrow{O A}+\frac{3}{7} \overrightarrow{A B}$
三、填空题 （共 11 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
如图, 在直角梯形 $A B C D$ 中, $A B / / C D, \angle A B C=90^{\circ}, A B=1, A C=C D=D A=2$, 动点 $M$在边 $D C$ 上 (不同于 $D$ 点), $P$ 为边 $A B$ 上任意一点, 沿 $A M$ 将 $\triangle A D M$ 翻折成 $\triangle A D^{\prime} M$, 当平面 $A D^{\prime} M$ 垂直于平面 $A B C$ 时, 线段 $P D^{\prime}$ 长度的最小值为
已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|2 \vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{3}$, 则 $|\vec{a}-\vec{b}|=$
对于空间向量 $\vec{m}=(a, b, c)$, 定义 $\|\vec{m}\|=\max \{|a|,|b|,|c|\}$, 其中 $\max \{x, y, z\}$ 表示 $x, y, z$ 这三个数的最大值.
(1) 已知 $\vec{a}=\left(6, \frac{11}{2}, 1\right), \vec{b}=\left(x, \frac{1}{2} x,-x\right)$.
①写出 $\|\vec{a}\|$,写出 $\|\vec{b}\|$ (用含 $x$ 的式子表示);
②当 $0 \leqslant x \leqslant 4$, 写出 $\|\vec{a}-\vec{b}\|$ 的最小值及此时 $x$ 的值;
(2) 设 $\vec{a}=\left(x_1, y_1, z_1\right), \vec{b}=\left(x_2, y_2, z_2\right)$, 求证: $\|\vec{a}+\vec{b}\| \leqslant\|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|$
(3) 在空间直角坐标系 $O-x y z$ 中, $A(2,0,0), B(0,4,0), C(0,0,6)$, 点 $P$ 是以 $O$ 为球心, 1 为半径的球面上的动点, 点 $Q$ 是 $\triangle A B C$ 内部的动点, 直接写出 $\|\overrightarrow{P Q}\|$ 的最小值及相应的点 $P$ 的坐标.
已知 $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ 五个点, 满足: $\overrightarrow{A_n A_{n+1}} \cdot \overrightarrow{A_{n+1} A_{n+2}}=0(n=1,2,3)$, $\left|A_n A_{n+1}\right|\left|A_{n+1} A_{n+2}\right|=n(n=1,2,3)$, 则 $\left|\overrightarrow{A_1 A_5}\right|$ 的最小值为
在 $\triangle A B C$ 中, 点 $M, N$ 分别为 $B C, A C$ 的中点, $A M$ 与 $B N$ 交于点 $G, A M=3, \angle M A B=45^{\circ}$.
(1) 若 $A C=5 \sqrt{2}$, 求中线 $B N$ 的长;
(2) 若 $\triangle A B C$ 是锐角三角形, 求四边形 $G M C N$ 面积的取值范围.
平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $45^{\circ}, \vec{a}=(1,1),|\vec{b}|=2$, 则 $\mid 3 \vec{a}+\vec{b}\mid=$
已知向量 $\boldsymbol{a}=(k, 2), \boldsymbol{b}=(2,1)$, 若 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$, 则实数 $k=$
已知 $\triangle A B C$ 外接圆的半径为 1 , 圆心为点 $O$, 且满足 $4 \overrightarrow{O C}=-2 \overrightarrow{O A}-3 \overrightarrow{O B}$, 则 $\cos \angle A O B=$
已知向量 $\vec{a}=(1,-3), \vec{b}=(\lambda, 5)$, 且 $(\vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{a}$, 则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量的坐标为
在四边形 $A B C D$ 中, $C E$ 平分 $\angle A C D, A E=C E=2 \sqrt{3}, D E=\sqrt{3}, \angle A B C=\angle A C D$, 则四边形 $A B C D$ 周长的取值范围是
已知 ${a}=(-2,-1), {b}=(-4, m)$, 若向量 ${b}$在向量 $a$ 方向上的数量投影为 $\sqrt{5}$ ，则实数 $m=$
四、解答题 （ 共 6 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
水车在古代是进行灌溉引水的工具, 是人类的一项古老的发明, 也是人类利用自然和改 造自然的象征. 如图一个半径为 $R \mathrm{~m}$ 的水车, 当水车上水斗 $A$ 从水中浮现时开始计算时间, 点 $A$ 沿圆周按逆时针方向匀速旋转, 且旋转一周用时 60 秒, 经过 $t$ 秒后, 水斗旋转到点 $P$, 已知 $A(2 \sqrt{3},-2)$, 设点 $P$ 的坐标为 $(x, y)$, 歩纵坐标满足 $y=f(t)=R \sin (\omega t+\varphi)(t \geqslant 0, \omega>\left.0,|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right)$.
(1) 求函数 $f(t)$ 的解析式;
(2)当水车转动一圈时, 求点 $P$ 到水面的距离不低于 $4 \mathrm{~m}$ 的持续时间.
已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)+B\left(A>0, \omega>0,|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right)$ 的部分图象如图所示.
(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式;
(2) 将函数 $y=f(x)$ 的图象上所有的点向右平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位, 再将所得图象上每一个点的横坐标 变为原来的 2 倍(纵坐标不变), 得到函数 $y=g(x)$ 的图象.
(1)当 $x \in\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right]$ 时, 求函数 $g(x)$ 的值域;
(2)若方程 $g(x)-m=0$ 在 $\left[0, \frac{7 \pi}{3}\right]$ 上有三个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}\left(x_{1} < x_{2} < x_{3}\right)$, 求 $\tan \left(x_{1}\right.$ $\left.+2 x_{2}+x_{3}\right)$ 的值.
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$. 已知 $a=2 \sqrt{2}, b=5, c=\sqrt{13}$.
(I) 求角 $C$ 的大小;
(II) 求 $\sin A$ 的值;
(III) 求 $\sin \left(2 A+\frac{\pi}{4}\right)$ 的值.
在锐角 $\triangle A B C$ 中, 角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$, 已知 $2 a \sin C=\sqrt{3} c$.
(1) 求角 $A$ 的大小;
(2) 若 $b=2, a=\sqrt{7}$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
数轴 $x, y$ 的交点为 $O$, 夹角为 $\theta$, 与 $x$ 轴、 $y$ 轴正向同向的单位向量分别是 $\overrightarrow{\mathrm{e}}_1, \overrightarrow{\mathrm{e}_2}$. 由平面向量基本定理, 对于平面内的任一向量 $\overrightarrow{O P}$,存在唯一的有序实数对 $(x, y)$, 使得 $\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{\mathrm{e}_1}+y \overrightarrow{\mathrm{e}_2}$, 我们把 $(x, y)$ 叫做点 $P$在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标 (以下各点的坐标都指在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标).
(1) 若 $\theta=90^{\circ}, \overrightarrow{O P}$ 为单位向量, 且 $\overrightarrow{O P}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{e}}_1$ 夹角为 $120^{\circ}$, 求点 $P$ 的坐标;
(2) 若 $\theta=45^{\circ}$, 点 $P$ 的坐标为 $(1, \sqrt{2})$, 求向量 $\overrightarrow{O P}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{e}}_1$ 的夹角的余弦值.
如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形, 其中正六边形边长为 2 .
(1) 设 $\overrightarrow{A G}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A I}$, 求 $x-y$ 的值;
(2) 若点 $P$ 在 $O D$ 边上运动 (包括端点), 则求 $|\overrightarrow{A O}+2 \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B P}|$ 的最大值.
