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数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 20 题），每题只有一个选项正确

1. 若

\sin (π - α) = \frac{4}{5}

, 则

\cos 2 α =

A.

- \frac{24}{25}

B.

\frac{7}{25}

C.

- \frac{7}{25}

D.

\frac{24}{25}

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2. 若直线

x = \frac{π}{4}

是曲线

y = \sin (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)

的一条对称轴, 且函数

y = \sin (ω x - \frac{π}{4})

在区间

[0, \frac{π}{12}]

上不单调, 则

ω

的最小值为（）

A.

B.

C.

D.

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3. 在平面直角坐标系

x O y

中，角

θ

的大小如图所示，则

9 \sin^{2} θ + \sin 2 θ =

A.

1

B.

\frac{2}{3}

C.

\frac{48}{13}

D.

\frac{5}{2}

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4. 已知

△ A B C

的边

B C

的中点为

D

, 点

E

在

△ A B C

所在平面内, 且

\vec{C D} = 3 \vec{C E} - 2 \vec{C A}

, 若

\vec{A C} = x \vec{A B} + y \vec{B E}

, 则

x + y =

A.

B.

C.

D.

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5. 已知向量

a = (1, 1), b = (m, 2)

, 且

a ⊥ (a - b)

, 则

| b | =

A.

B.

C.

D.

2 \sqrt{2}

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6. 已知向量

\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (1, - 3)

, 则

A.

a / / (a + b)

B.

a / / (a - b)

C.

a ⊥ (a - b)

D.

a ⊥ (a + b)

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7. 已知向量

\vec{a}, \vec{b}

满足

| \vec{a} | = 1, \vec{b} = (t, 2 - t), \vec{a} - \vec{b}

与

a

垂直, 则

| \vec{a} - \vec{b} |

的最小值为

A.

\sqrt{2}

B.

\frac{\sqrt{2}}{2}

C.

D.

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8. 已知

{\vec{e}}_{1}, \vec{e_{2}}

是单位向量, 且它们的夹角是

60^{\circ}

. 若

\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}, \vec{b} = λ \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}

, 且

| \vec{a} | = | \vec{b} |

, 则

λ =

A.

B.

-2

C.

2 或 -3

D.

3 或 -2

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9. 已知向量

a = (0, - 2), b = (1, t)

, 若向量

b

在向量

a

上的投影向量为

- \frac{1}{2} a

, 则

a \cdot b =

A.

B.

- \frac{5}{2}

C.

-2

D.

\frac{11}{2}

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10. 已知向量

\vec{a} = (1, \sqrt{3}), \vec{b} = (\cos α, \sin α)

, 则下列结论正确的是

A.

若

\vec{a} / / \vec{b}

, 则

\tan α = \sqrt{3}

B.

若

\vec{a} ⊥ \vec{b}

, 则

\tan α = - \frac{\sqrt{3}}{3}

C.

若

\vec{a}

与

\vec{b}

的夹角为

\frac{π}{3}

, 则

| \vec{a} - \vec{b} | = 3

D.

若

\vec{a}

与

\vec{b}

方向相反, 则

\vec{b}

在

\vec{a}

上的投影向量的坐标是

(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})

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11. 已知向量

\vec{a} = (2, 0), \vec{b} = (- 1, \sqrt{3})

, 则

\vec{a}

与

(\vec{a} - \vec{b})

夹角的余弦值为

A.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

B.

- \frac{1}{2}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{\sqrt{3}}{2}

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12. 在

△ A B C

中, 角

A

为

\frac{π}{3}

, 角

A

的平分线

A D

交

B C

于点

D

, 已知

A D = 2 \sqrt{3}

, 且

λ \vec{A B} = \vec{A D} - \frac{1}{3} \vec{A C} (λ \in R)

,则

\vec{A B} \cdot \vec{A D} =

A.

B.

\frac{3}{2}

C.

D.

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

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13. 已知平面向量

\vec{a} = (3, 2), \vec{b} = (- 2, 1)

, 若

(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}

, 则

λ =

A.

- \frac{4}{5}

B.

- \frac{3}{5}

C.

\frac{3}{5}

D.

\frac{4}{5}

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14. 设

\vec{a}, \vec{b}

是非零向量, “

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} |

” 是 “

\vec{a} / / \vec{b}

” 的

A.

充分而不必要条件

B.

必要而不充分条件

C.

充分必要条件

D.

既不充分也不必要条件

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15. 若

| a + b | = | a - b |, a = (1, 2), b = (m, 3)

, 则实数

m =

A.

B.

-6

C.

D.

-3

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16. 已知向量

\vec{a} = (3, 4), \vec{b} = (1, 0), \vec{c} = \vec{a} + t \vec{b}

, 若

⟨ \vec{a}, \vec{c} ⟩ = ⟨ \vec{b}, \vec{c} ⟩

, 则

t =

A.

-6

B.

-5

C.

D.

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17. 已知向量

\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (- 1, 3)

, 则

| \vec{a} - 2 \vec{b} | =

A.

B.

C.

D.

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18. 已知向量

\vec{a}, \vec{b}

满足

| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 1, | 2 \vec{a} - \vec{b} | = 5

, 则

\vec{a} \cdot \vec{b} =

A.

-2

B.

-4

C.

-5

D.

-10

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19. 设

\vec{a}, \vec{b}

为平面内任意两个非零向量, 则下列不正确的是

A.

\vec{a} / / \vec{b}

的充要条件是

\exists λ \in R

, 使

\vec{a} = λ \vec{b}

B.

\vec{a} ⊥ \vec{b}

的充要条件是

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

C.

| \vec{a} \cdot \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} |

的充要条件是

\vec{a} / / \vec{b}

D.

| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |

的充要条件是

\vec{a} / / \vec{b}

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20. 已知平行六面体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

A A_{1} = 2, B D = 3, \vec{A D_{1}} \cdot \vec{D C} - \vec{A B_{1}} \cdot \vec{B C} = 4

, 则

\cos ⟨ \vec{A A_{1}}, \vec{B D} ⟩ = ()

A.

\frac{2}{3}

B.

- \frac{2}{3}

C.

\frac{3}{4}

D.

- \frac{3}{4}

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二、多选题（共 3 题），每题有多个选项正确

21. 已知函数

f (x) = {0.5}^{\sin x + \cos x}

, 则 ( )

A.

f (x)

是以

2 π

为周期的周期函数

B.

直线

x = \frac{3 π}{4}

是

f (x)

图象的一条对称轴

C.

f (x)

的值域为

[2^{- \sqrt{2}}, 2^{\sqrt{2}}]

D.

f (x)

在

[π, \frac{5 π}{4}]

上单调递增

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22. 如图所示, 设

O x, O y

是平面内相交成

θ (θ \neq \frac{π}{2})

角的两条数轴,

{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}

分别是与

x

轴,

y

轴正方向同向的单位向量, 则称平面坐标系

x O y

为

θ

反射坐标系. 在

θ

反射坐标系中, 若

\vec{O M} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}

, 则把有序数对

(x, y)

称为向量

\vec{O M}

的反射坐标, 记为

\vec{O M} = (x, y)

. 在

θ = \frac{2 π}{3}

的反射坐标系中,

\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, - 1)

, 其中正确的是

A.

\vec{a} - \vec{b} = (- 1, 3)

B.

| \vec{a} | = \sqrt{5}

C.

\vec{a} ⊥ \vec{b}

D.

| \vec{b} | = \sqrt{7}

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23. 设

P

是

△ A B C

内部 (不含边界) 的一点, 以下可能成立的是

A.

\vec{O P} = \frac{2}{7} \vec{O A} + \frac{1}{7} \vec{O B}

B.

\vec{O P} = \frac{2}{7} \vec{O A} + \frac{5}{7} \vec{O B}

C.

\vec{O P} = \frac{2}{7} \vec{O A} + \frac{4}{7} \vec{A B}

D.

\vec{O P} = \frac{4}{7} \vec{O A} + \frac{3}{7} \vec{A B}

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三、填空题（共 11 题），请把答案直接填写在答题纸上

24. 如图, 在直角梯形

A B C D

中,

A B / / C D, ∠ A B C = 90^{\circ}, A B = 1, A C = C D = D A = 2

, 动点

M

在边

D C

上 (不同于

D

点),

P

为边

A B

上任意一点, 沿

A M

将

△ A D M

翻折成

△ A D^{'} M

, 当平面

A D^{'} M

垂直于平面

A B C

时, 线段

P D^{'}

长度的最小值为

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25. 已知单位向量

\vec{a}, \vec{b}

满足

| 2 \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3}

, 则

| \vec{a} - \vec{b} | =

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26. 对于空间向量

\vec{m} = (a, b, c)

, 定义

∥ \vec{m} ∥ = max {| a |, | b |, | c |}

, 其中

max {x, y, z}

表示

x, y, z

这三个数的最大值.
(1) 已知

\vec{a} = (6, \frac{11}{2}, 1), \vec{b} = (x, \frac{1}{2} x, - x)

.
①写出

∥ \vec{a} ∥

,写出

∥ \vec{b} ∥

(用含

x

的式子表示);
②当

0 ⩽ x ⩽ 4

, 写出

∥ \vec{a} - \vec{b} ∥

的最小值及此时

x

的值;
(2) 设

\vec{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}), \vec{b} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})

, 求证:

∥ \vec{a} + \vec{b} ∥ ⩽ ∥ \vec{a} ∥ + ∥ \vec{b} ∥

(3) 在空间直角坐标系

O - x y z

中,

A (2, 0, 0), B (0, 4, 0), C (0, 0, 6)

, 点

P

是以

O

为球心, 1 为半径的球面上的动点, 点

Q

是

△ A B C

内部的动点, 直接写出

∥ \vec{P Q} ∥

的最小值及相应的点

P

的坐标.

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27. 已知

A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}

五个点, 满足:

\vec{A_{n} A_{n + 1}} \cdot \vec{A_{n + 1} A_{n + 2}} = 0 (n = 1, 2, 3)

| A_{n} A_{n + 1} | | A_{n + 1} A_{n + 2} | = n (n = 1, 2, 3)

, 则

| \vec{A_{1} A_{5}} |

的最小值为

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28. 在

△ A B C

中, 点

M, N

分别为

B C, A C

的中点,

A M

与

B N

交于点

G, A M = 3, ∠ M A B = 45^{\circ}

.
(1) 若

A C = 5 \sqrt{2}

, 求中线

B N

的长;
(2) 若

△ A B C

是锐角三角形, 求四边形

G M C N

面积的取值范围.

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29. 平面向量

\vec{a}

与

\vec{b}

的夹角为

45^{\circ}, \vec{a} = (1, 1), | \vec{b} | = 2

, 则

∣ 3 \vec{a} + \vec{b} ∣=

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30. 已知向量

a = (k, 2), b = (2, 1)

, 若

a ⊥ b

, 则实数

k =

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31. 已知

△ A B C

外接圆的半径为 1 , 圆心为点

O

, 且满足

4 \vec{O C} = - 2 \vec{O A} - 3 \vec{O B}

, 则

\cos ∠ A O B =

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32. 已知向量

\vec{a} = (1, - 3), \vec{b} = (λ, 5)

, 且

(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}

, 则

\vec{b}

在

\vec{a}

方向上的投影向量的坐标为

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33. 在四边形

A B C D

中,

C E

平分

∠ A C D, A E = C E = 2 \sqrt{3}, D E = \sqrt{3}, ∠ A B C = ∠ A C D

, 则四边形

A B C D

周长的取值范围是

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34. 已知

a = (- 2, - 1), b = (- 4, m)

, 若向量

b

在向量

a

方向上的数量投影为

\sqrt{5}

，则实数

m =

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四、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

35. 水车在古代是进行灌溉引水的工具, 是人类的一项古老的发明, 也是人类利用自然和改造自然的象征. 如图一个半径为

R m

的水车, 当水车上水斗

A

从水中浮现时开始计算时间, 点

A

沿圆周按逆时针方向匀速旋转, 且旋转一周用时 60 秒, 经过

t

秒后, 水斗旋转到点

P

, 已知

A (2 \sqrt{3}, - 2)

, 设点

P

的坐标为

(x, y)

, 歩纵坐标满足

y = f (t) = R \sin (ω t + φ) (t ⩾ 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})

.
(1) 求函数

f (t)

的解析式;
(2)当水车转动一圈时, 求点

P

到水面的距离不低于

4 m

的持续时间.

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36. 已知函数

f (x) = A \sin (ω x + φ) + B (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})

的部分图象如图所示.
(1) 求函数

f (x)

的解析式;
(2) 将函数

y = f (x)

的图象上所有的点向右平移

\frac{π}{12}

个单位, 再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变), 得到函数

y = g (x)

的图象.
(1)当

x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{2}]

时, 求函数

g (x)

的值域;
(2)若方程

g (x) - m = 0

在

[0, \frac{7 π}{3}]

上有三个不相等的实数根

x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})

, 求

\tan (x_{1}

+ 2 x_{2} + x_{3})

的值.

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37. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

. 已知

a = 2 \sqrt{2}, b = 5, c = \sqrt{13}

.
(I) 求角

C

的大小;
(II) 求

\sin A

的值;
(III) 求

\sin (2 A + \frac{π}{4})

的值.

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38. 在锐角

△ A B C

中, 角

A 、 B 、 C

所对的边分别为

a 、 b 、 c

, 已知

2 a \sin C = \sqrt{3} c

.
(1) 求角

A

的大小;
(2) 若

b = 2, a = \sqrt{7}

, 求

△ A B C

的面积.

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39. 数轴

x, y

的交点为

O

, 夹角为

θ

, 与

x

轴、

y

轴正向同向的单位向量分别是

{\vec{e}}_{1}, \vec{e_{2}}

. 由平面向量基本定理, 对于平面内的任一向量

\vec{O P}

,存在唯一的有序实数对

(x, y)

, 使得

\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}

, 我们把

(x, y)

叫做点

P

在斜坐标系

x O y

中的坐标 (以下各点的坐标都指在斜坐标系

x O y

中的坐标).
(1) 若

θ = 90^{\circ}, \vec{O P}

为单位向量, 且

\vec{O P}

与

{\vec{e}}_{1}

夹角为

120^{\circ}

, 求点

P

的坐标;
(2) 若

θ = 45^{\circ}

, 点

P

的坐标为

(1, \sqrt{2})

, 求向量

\vec{O P}

与

{\vec{e}}_{1}

的夹角的余弦值.

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40. 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形, 其中正六边形边长为 2 .
(1) 设

\vec{A G} = x \vec{A B} + y \vec{A I}

, 求

x - y

的值;
(2) 若点

P

在

O D

边上运动 (包括端点), 则求

| \vec{A O} + 2 \vec{A C} + \vec{B P} |

的最大值.

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