已知向量 $\boldsymbol{a}=(0,-2), \boldsymbol{b}=(1, t)$, 若向量 $\boldsymbol{b}$ 在向量 $\boldsymbol{a}$ 上的投影向量为 $-\frac{1}{2} \boldsymbol{a}$, 则 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $-\frac{5}{2}$
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ $\frac{11}{2}$